Exklusives Oder

Kontravalenz ist in der klassischen Logik und Mathematik die Bezeichnung für die Verbindung zweier Aussagen durch den zweistelligen Junktor "entweder - oder"^[1] oder auch "exklusives Oder" sowie "Kontravalentor".

Synonym werden auch die Bezeichnungen ausschließende Disjunktion, vollständige Disjunktion, antivalente Disjunktion^[2], Bisubtraktion^[3], ausschließendes Oder, Antivalenz, kontradiktorischer Gegensatz^[4], Kontrajunktion oder Alternation^[5] verwendet. In der Schaltalgebra spricht man von dem XOR-Gatter, in der Aussagenlogik nennt man sie XOR-Verknüpfung.

Definition und Eigenschaften

Definiert wird die Kontravalenz durch die Wahrheitswertefunktion ihres Junktors: Eine Kontravalenz ist genau dann wahr, wenn beide durch sie verbundenen Aussagen unterschiedliche Wahrheitswerte haben, das heißt wenn entweder die eine oder die andere wahr ist, wenn aber nicht beide gleichzeitig wahr oder beide gleichzeitig falsch sind.

In einer Wahrheitstabelle (Matrix) ausgedrückt:

a	b	$\dot\or$
wahr	wahr	falsch
wahr	falsch	wahr
falsch	wahr	wahr
falsch	falsch	falsch

Die Kontravalenz ist assoziativ und kommutativ. Zudem ist sie selbstinvers und distributiv bezüglich logisch UND, aber nicht bezüglich ODER: $A \wedge (B \dot\or C) = (A \wedge B) \dot\or (A \wedge C)$

Abgrenzung und Gemeinsamkeiten

Der Unterschied zum "nicht ausschließenden oder" (im engeren Sinn die Disjunktion) besteht in der "verschärften Information" ^[6], dass "von vornherein feststeht, dass eine der beiden Alternativen wahr sein muss"^[7], d.h. nicht nur wenigstens, sondern auch höchstens einer der beiden Sachverhalte besteht^[8].

Äquivalenzen der Kontravelenz, d.h. Formeln mit anderen Junktoren, die denselben Wahrheitswertverlauf haben, sind:

• Negation des Bikonditionals (Negation der Äquivalenz) $\neg (A \leftrightarrow B)$^[9]
• $(A \vee B) \wedge \neg (A \wedge B)$ oder
• $(A \vee B) \wedge (\neg A \vee \neg B)$.

Bedeutung und praktische Anwendung

Die Bedeutung der Kontravalenz ist in der modernen Logik eher gering, „da sie relativ wenige Zusammenhänge zu formulieren gestattet“^[10]. In der Schaltalgebra hat sie als XOR-Verknüpfung hingegen große Bedeutung. Die Eigenschaft, dass die zweimalige Anwendung der XOR-Verknüpfung der Identität entspricht, d. h. dass sie selbstinvers ist, wird unter anderem in der Kryptographie – dort ermöglicht sie die Verwendung der gleichen Funktion beim Verschlüsseln und Entschlüsseln – sowie beim RAID-System verwendet. Siehe dazu auch Anwendung der XOR-Verknüpfung.

Notation und Aussprache

Symbole des Kontravalentors sind unter anderem:

• „>-<“,
• „><“,
• $\oplus$
• ein halbes Quadrat^[11].
• $A \dot\or B$
• A XOR B

Die Sprechweise für den Junktor $A \dot\or B$ variiert ebenfalls:

• "A kontra B"^[12]
• „A oder (aber) B“^[13]
• „Entweder A, oder B“ ^[14]
• "A, außer dass B"^[15]
• "A, ausgenommen dass B"^[16]
• "A, es sei denn, dass B"^[17]
• „A genau dann, wenn nicht B“^[18]

Umgangssprachlich wird der Kontravalentor mit „entweder–oder“ (lat. aut–aut) umschrieben; umgekehrt hat das umgangssprachliche „entweder–oder“ jedoch auch andere Bedeutungen, die nicht mit der Kontravalenz übereinstimmen (z. B. kann „Entweder Emil oder ich hole Dich ab“ auch dann als wahr verstanden werden, wenn beide den Gesprächspartner abholen^[19]).

Quellen

1. ↑ Vgl. Lorenz, Disjunktion, in: Mittelstraß (Hrsg.), Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, 2. Aufl. 2005.
   In einer anderen Bedeutung auch die Wahrheitswertefunktion, die diesen Junktor interpretiert
2. ↑ z. B. Lorenz: „Disjunktion“, in: Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, 2. Aufl. 2005
3. ↑ z. B: Lorenzen: Logik, 4. Aufl. (1970), S. 48 (um das Wort „Disjunktion“ zu vermeiden)
4. ↑ z. B. Menne: Logik, 6. Aufl. (2001), S.39
5. ↑ Strobach, Einführung in die Logik (2005), S. 22: manchmal, aber dem lateinischen Bedeutung nicht gut entsprechend
6. ↑ Essler/Martínez, Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 51
7. ↑ Schülerduden, Philosophie, 2. Aufl. (2002), Disjunktion
8. ↑ Essler/Martínez, Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 51
9. ↑ Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 6; Reichenbach, Grundzüger der symbolischen Logik (1999), S. 33
10. ↑ Essler/Martínez, Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 98 Fn. 33
11. ↑ Lorenzen, Logik, 4. Aufl. (1970), S. 39
12. ↑ Menne, Logik, 6. Aufl. (2001), S.39
13. ↑ Essler/Martínez, Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 51
14. ↑ Essler/Martínez, Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 51; Detel, Grundkurs Philosophie I: Logik (2007), S. 71
15. ↑ Essler, Einführung in die Logik, 2. Aufl. (1969), S. 96
16. ↑ Essler, Einführung in die Logik, 2. Aufl. (1969), S. 96
17. ↑ Essler, Einführung in die Logik, 2. Aufl. (1969), S. 96
18. ↑ Spies, Einführung in die Logik (2004), S. 13
19. ↑ Rosenkranz, Einführung in die Logik (2006), S. 81

Siehe auch

• Aussagenlogik
  • Äquivalenz (XNOR-Gatter)
  • Negation (Nicht-Gatter)
  • Subjunktion (Implikation)
  • Konjunktion (Und-Gatter)
  • Disjunktion (Oder-Gatter)