Jarque-Bera-Test

Der Test auf Normalverteilung, der von Carlos M. Jarque und Anil K. Bera vorgeschlagen wurde, ist ein statistischer Test, der anhand der Kurtosis und der Schiefe in Daten die Anpassung an die Normalverteilung misst. Die Teststatistik JB ist definiert als

$\mathit{JB} = \frac{n}{6} \left( S^2 + \frac{(K-3)^2}{4} \right),$

mit n: Anzahl der Beobachtungen

S: Die Schiefe in den Daten ist wie folgt definiert:

$S = \frac{ \mu_3 }{ \sigma^3 } = \frac{ \mu_3 }{ \left( \sigma^2 \right)^{3/2} } = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^3}{ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^{3/2}}$

Bei symmetrischer Verteilung wie der Normalverteilung ist der theoretische Wert der Schiefe Null.
K: Die Kurtosis, ein Maß für die Wölbung einer Verteilung, hat bei Normalverteilung einen Wert von Drei. Werte, die darüber liegen, zeigen an, dass die Verteilung fette Enden hat, d.h. dass die Dichte einer Verteilung an den Rändern, zum Beispiel außerhalb der üblichen ±2σ-Schranken, größer und dafür in den mittleren Bereichen geringer ist als bei der Normalverteilung. Dies gilt zum Beispiel für die t-Verteilung. Die Kurtosis ist wie folgt definiert:

$K = \frac{ \mu_4 }{ \sigma^4 } = \frac{ \mu_4 }{ \left( \sigma^2 \right)^{2} } = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^4}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^2}$

wobei μ₃ und μ₄ das dritte und das vierte Moment darstellen,

$\bar{x}$ der Durchschnitt der Stichprobe ist und

σ² das zweite Moment, die Varianz, symbolisiert.

$JB\sim\chi^2_2$. Die JB Teststatistik ist asymptotisch Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden.

Das Hypothesenpaar lautet:
H₀: Die Stichprobe ist normalverteilt.
H₁: Die Stichprobe ist nicht normalverteilt.

Bei einem Signifikanzniveau 1 − α = 0,90 gilt: Für Werte der Teststatistik über 4,6 wird die Hypothese der Normalverteilung verworfen; für Signifikanzniveau 1 − α = 0,95 und 1 − α = 0,98 ergeben sich die Schranken 6 und 7,8.

Literatur

• Anil K. Bera, Carlos M. Jarque: Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals. In: Economics Letters. 6, Nr. 3, 1980, S. 255–259.
• Anil K. Bera, Carlos M. Jarque: Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence. In: Economics Letters. 7, Nr. 4, 1981, S. 313–318.
• Judge, et al.: Introduction and the Theory and Practice of Econometrics, 3rd edn., S. 890–892 1988

Siehe auch

• Shapiro-Wilk-Test
• Kolmogorow-Smirnow-Test
• statistischer Test