Kohomologiegruppe

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Die Kohomologietheorie ist ein Teilgebiet der algebraischen Topologie. Es handelt sich hierbei um das duale Konzept zur Homologietheorie.

Definition der Kohomologiegruppe

Sei $(C^k)_{k\in \Z}$ eine halbexakte Folge von abelschen Gruppen (bzw. Vektorräumen, Garben oder allgemeiner G-Torseuren) und sei

$\mathrm{d}^k : C^k \to C^{k+1}$

für alle $k \in \mathbb{Z}$ ein Gruppenhomomorphismus. Außerdem muss $\mathrm{d}^{k+1} \circ \mathrm{d}^k = 0$ für alle $k \in \mathbb{Z}$ gelten. Dieser Homomorphismus heißt auch Korandoperator. Dann nennt man

$C = (C^k,\ \mathrm{d}^k : C^k \rightarrow C^{k+1})_{k \in \Z}$

einen Kokettenkomplex. Eine Element aus $\,C^k$ heißt k-Kokette. Gilt für eine Kokette $\,\phi \in C^k$ die Gleichung $\,\mathrm{d}^k (\phi) = 0$, so nennt man diese auch Kozykel. Gibt es ein $\,\psi \in C^{k-1}$ mit $\,\mathrm{d}^{k-1} (\psi) = \phi$, so heißt $\,\phi$ Korand. Mit $\,Z^k(C) = \mathrm{Kern}(\mathrm{d}^k)$ bezeichnet man die Untergruppe aller Kozykel, und analog bezeichnet man mit $\,B^k(C) = \mathrm{Bild}(\mathrm{d}^{k-1})$ die Untergruppe aller Koränder.

Die k-te Kohomologiegruppe des Kokettenkomplexes $\,C$ ist dann definiert als

$H^k(C) = \frac{Z^k(C)}{B^k(C)}$.

Ein Element der Kohomologiegruppe $\,H^k(C)$ wird Kohomologieklasse genannt. Ein Kokettenkomplex heißt exakt, wenn das Bild von $\,\mathrm{d}^{k-1}$ stets mit dem Kern von $\,\mathrm{d}^k$ übereinstimmt. Einfach ausgedrückt misst also die Kohomologiegruppe die „Nichtexaktheit“ des Kokettenkomplexes $\,C$.

Kohomologiefunktoren

Sei $f : X \to Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Diese Abbildung induziert eine Abbildung

$f^* : H^p(Y) \to H^p(X)$ mit

$\phi \mapsto \phi \circ f.$

Beachte die entgegengesetze Richtung von f ^* im Gegensatz zu f. Diese Abbildung heißt Kohomologie-Homomorphismus und erfüllt die folgenden zwei Eigenschaften:

1. Sei $f : X \to Y$ und $g : Y \to Z$ stetig, dann gilt $(g \circ)^* = f^* \circ g^*$.
2. Der Homomorphismus, welcher durch die identische Abbildung induziert wird, ist wieder die identische Abbildung.

Also ist die Zuordnung $X \mapsto H^p(X),\ f \mapsto f^*$ ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der topologischen Räume in die Kategorie der abelschen Gruppen. Die Kohomologietheorie ist also das duale Konzept zur Homologietheorie, denn die Homologiefunktoren sind die entsprechenden kovarianten Funktoren.

Topologische Invarianz von Kohomologien

Sei $f : X \to Y$ eine Homeomorphismus, dann ist für jedes $p \geq 0$

$f^*:H^p(Y) \to H^p(X)$

ein Isomorphismus.

Beispiele

Beispiele für Kohomologien sind die

• De-Rham-Kohomologie
• Dolbeault-Kohomologie
• Čech-Kohomologie oder Garbenkohomologie
• Motivische Kohomologie
• Étale Kohomologie

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag, ISBN 0-387-98759-2.