- Kohomologiegruppe
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Die Kohomologietheorie ist ein Teilgebiet der algebraischen Topologie. Es handelt sich hierbei um das duale Konzept zur Homologietheorie.
Inhaltsverzeichnis
Definition der Kohomologiegruppe
Sei
eine halbexakte Folge von abelschen Gruppen (bzw. Vektorräumen, Garben oder allgemeiner G-Torseuren) und sei
für alle
ein Gruppenhomomorphismus. Außerdem muss
für alle
gelten. Dieser Homomorphismus heißt auch Korandoperator. Dann nennt man
einen Kokettenkomplex. Eine Element aus
heißt k-Kokette. Gilt für eine Kokette
die Gleichung
, so nennt man diese auch Kozykel. Gibt es ein
mit
, so heißt
Korand. Mit
bezeichnet man die Untergruppe aller Kozykel, und analog bezeichnet man mit
die Untergruppe aller Koränder.
Die k-te Kohomologiegruppe des Kokettenkomplexes
ist dann definiert als
.
Ein Element der Kohomologiegruppe
wird Kohomologieklasse genannt. Ein Kokettenkomplex heißt exakt, wenn das Bild von
stets mit dem Kern von
übereinstimmt. Einfach ausgedrückt misst also die Kohomologiegruppe die „Nichtexaktheit“ des Kokettenkomplexes
.
Kohomologiefunktoren
Sei
eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Diese Abbildung induziert eine Abbildung
mit
Beachte die entgegengesetze Richtung von f * im Gegensatz zu f. Diese Abbildung heißt Kohomologie-Homomorphismus und erfüllt die folgenden zwei Eigenschaften:
- Sei
und
stetig, dann gilt
.
- Der Homomorphismus, welcher durch die identische Abbildung induziert wird, ist wieder die identische Abbildung.
Also ist die Zuordnung
ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der topologischen Räume in die Kategorie der abelschen Gruppen. Die Kohomologietheorie ist also das duale Konzept zur Homologietheorie, denn die Homologiefunktoren sind die entsprechenden kovarianten Funktoren.
Topologische Invarianz von Kohomologien
Sei
eine Homeomorphismus, dann ist für jedes
ein Isomorphismus.
Beispiele
Beispiele für Kohomologien sind die
- De-Rham-Kohomologie
- Dolbeault-Kohomologie
- Čech-Kohomologie oder Garbenkohomologie
- Motivische Kohomologie
- Étale Kohomologie
Literatur
- John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag, ISBN 0-387-98759-2.
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