Dolbeault-Kohomologie

Die Dolbeault-Kohomologie ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie. Benannt wurde es nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault, der das Objekt 1953 definierte und untersuchte. Die Dolbeault-Kohomologie ist eine spezielle Kohomologietheorie. Als Analogon zur De-Rham-Kohomologie auf komplexen Mannigfaltigkeiten ist sie ebenfalls zentral in der Hodge-Theorie.

Dolbeault-Komplex

Im Folgenden werde mit $\mathcal{A}^{p,q}$ die Menge der (p,q)-Differentialformen bezeichnet. Sei M eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, $U \subset M$ eine offene Teilmenge und

$\overline{\partial} \colon \mathcal{A}^{p,q}(U) \to \mathcal{A}^{p,q+1}(U)$

der Dolbeault-Quer-Operator. Dann heißt die Sequenz

$0 \longrightarrow \C \cong \mathcal{A}^{p,0}(U) \stackrel{\overline{\partial}_0}{\longrightarrow} \mathcal{A}^{p,1}(U) \stackrel{\overline{\partial}_1}{\longrightarrow} \mathcal{A}^{p,2}(U) \stackrel{\overline{\partial}_2}{\longrightarrow} \ldots \stackrel{\overline{\partial}_{n-1}}{\longrightarrow} \mathcal{A}^{p,n}(U) \longrightarrow 0$

p-ter Dolbeault-Komplex. Dieser Komplex ist ein Kokettenkomplex, denn es gilt $\overline{\partial}_{k+1} \circ \overline{\partial}_k = 0.$ Da die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist, bricht der Komplex nach n Schritten ab. Außerdem ist der Dolbeault-Komplex elliptisch, das heißt der Kokettenkomplex der Hauptsymbole von $\overline{\partial}$ ist exakt.

Dolbeault-Kohomologie

Aus diesem p-ten Kokettenkomplex erhält man auf gewohnte Weise eine Kohomologie. Diese Kohomologie heißt p-te Dolbeault-Kohomologie und wird durch $H^p_{\overline{\partial}}(U)$ notiert. Die q-te Kohomologiegruppe der p-ten Dolbeault-Kohomologie oder kurz die (q,p)-te Dolbeault-Gruppe ist also definiert als

$H^{p,q}_{\overline{\partial}}(U) = \mathrm{Kern}\left(\overline{\partial}^k\right) / \mathrm{Bild}\left(\overline{\partial}^{k-1}\right).$

Genauso wie bei der De-Rham-Kohomologie sind die Kohomologiegruppen auch Vektorräume.

Satz von Dolbeault

Der Satz von Dolbeault ist ein komplexes Analogon zum Satz von de Rham. Mit Ω^p(M) wird die Garbe der holomorphen p-Formen auf der komplexen Mannigfaltigkeit M bezeichnet. Der Satz von Dolbeault besagt nun, dass die q-te Garbenkohomologiegruppe mit Werten in den holomorphen p-Formen $H^q_G(M,\Omega^p(M))$ isomorph zur q-ten Kohomologiegruppe der p-ten Dolbeault-Kohomologie $H^{p,q}_{\overline{\partial}}(M)$ ist. In mathematischer Kürze bedeutet dies

$H^{p,q}_{\overline{\partial}}(M)\cong H^q_G(M,\Omega^p(M)).$

Literatur

• P. Dolbeault: Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 236, 1953, ISSN 0001-4036, S. 175–277.
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, New York NY 2002, ISBN 0-387-95395-7 (Graduate Texts in Mathematics 213).