Kompakt konvergent

In der Mathematik nennt man eine Folge oder Reihe von Funktionen auf einem topologischen Raum X mit Werten in einem normierten Raum E kompakt konvergent, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge von X gleichmäßig konvergiert.

Seine Bedeutung erhält der Begriff der kompakten Konvergenz aus der Tatsache, dass aus der lokal-gleichmäßigen Konvergenz einer Folge oder Reihe von Funktionen die kompakte Konvergenz folgt und die Umkehrung für lokalkompakte Räume gilt.

Die Topologie der Kompakten Konvergenz

Wenn der Topologische Raum X lokalkompakt ist, lässt sich der Raum B_k(X,E) der Funktionen von X in den normierten Vektorraum E, die auf jeder kompakten Teilmenge von X beschränkt sind (im Sinne der Norm auf E), mit einer topologischen Struktur, der Topologie der kompakten Konvergenz versehen:

Zunächst existiert nach der Definition von B = B_k(X,E) für zwei Abbildungen f und g aus B mit der Norm $||\cdot||_E$ auf E der auf K eingeschränkte Abstand

$d_K(f,g):=||\,\left.f\right|_K-\left.g\right|_K\,||_\infty:=\sup_{x\in K} ||f(x)-g(x)||_E\;$

für jede (nichtleere) kompakte Teilmenge K von X. Für die Einschränkungen auf K ist dies eine Metrik, für B eine Pseudometrik, da die Einschränkungen von zwei verschiedenen Funktionen auf K übereinstimmen können.

Lässt sich der Raum X als Vereinigung abzählbar vieler kompakter Mengen $(K_j)_{j\in \Bbb N}$, also in der Form $X=\cup_{j\in \Bbb N}(K_j)$ darstellen, dann kann man diese Metriken $d_j=d_{K_j}$ zu der Metrik

$d(f,g)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} 2^{-i} \frac{d_j(f,g)}{1+d_j(f,g)}$

auf B zusammensetzen. Damit wird (B,d) zu einem Metrischen Raum.

In allgemeineren Fällen, wenn keine solche Darstellung für X möglich oder bekannt ist, lässt sich durch ein beliebiges System kompakter Mengen $(K_j)_{j\in J}$, das X überdeckt, mit den jeweiligen Pseudometriken $d_j=d_{K_j}$ eine Familie von Pseudometriken $(d_j)_{j\in J}$ auf B auswählen, die eine uniforme Struktur auf B definieren. Auch hierzu sind die technischen Details im Artikel Pseudometrik erläutert.

Beispiele

1. Potenzreihen analytischer Funktionen auf $X=\Bbb R$ oder $X=\Bbb C$ konvergieren innerhalb ihres Konvergenzradius kompakt.
2. Ist $X=\Bbb R$, so bildet das System $\{K_j:=[-j;j]\,|\,j\in\Bbb N\setminus \{0\}\}$ ein abzählbares System von kompakten Mengen, die $\Bbb R$ überdecken. Damit kann eine Metrik der kompakten Konvergenz auf der Abbildungsmenge $B_k(\Bbb R,\Bbb R)$ eingeführt werden.
3. Ganz entsprechend kann man die Menge der kompakt beschränkten Abbildungen $B_k(\Bbb R^n,\Bbb R^m)$ aus einem n-dimensionalen in einen m-dimensionalen reellen Vektorraum mit einer Metrik versehen. Als Überdeckung des Urbildraums können hier z. B. Würfel (der Kantenlänge 2j mit Schwerpunkt im Ursprung) oder Kugeln (mit Radius j um den Ursprung) gewählt werden.
4. Ist X ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet der komplexen Zahlenebene, dann lässt sich X durch die Mengen $K_j := \left\{ x\in X\,|\, d_H(x,\partial X)\geq \tfrac{1}{j} \right\}$ überdecken (d_H misst den Abstand vom Rand im Sinne der Hausdorff-Metrik, entsteht dabei für kleinere $j\in\Bbb N$ die leere Menge, dann müssen diese aus der Familie der Pseudometriken bei der Definition der Metrik herausgenommen werden). Auch hier erweist sich damit die Topologie der kompakten Konvergenz als metrisierbar.

Vollständigkeit

Wichtige Abbildungsräume bilden mit der Topologie der kompakten Konvergenz eine vollständige uniforme Struktur. Zwei Beispiele: Die Räume $\mathcal{C}(G)$ bzw. $\mathcal{O}(G)$ der auf einem Gebiet G der komplexe Zahlenebene stetigen bzw. holomorphen Funktionen bilden bezüglich der uniformen Struktur der kompakten Konvergenz vollständige uniforme Raume. In klassischer Formulierung, d. h. ohne topologische Begriffe, lässt sich dies so aussprechen:

• Sind in einem Gebiet $G \subset \mathbb{C}$ die Funktionen $f_n:G \rightarrow \mathbb{C}$, $n \in \mathbb{N}$, alle stetig (bzw. holomorph), und ist die Folge (f_n) kompakt konvergent gegen eine Grenzfunktion f, dann ist auch die Grenzfunktion f stetig (bzw. holomorph) in G.
• Analoges gilt für Reihen $\sum_{n=1}^\infty g_n$ und unendliche Produkte $\prod_{n = 1}^\infty g_n$, wenn man sie als Funktionenfolgen betrachtet.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-09799-6
• R. Remmert, Funktionentheorie I, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1989, ISBN 3-540-51238-1
• R. Remmert, Funktionentheorie II, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1991, ISBN 3-540-12783-6