Komplexes Maß

Ein komplexes Maß ist eine Art Verallgemeinerung des Maßes aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine Funktion, die von einem Mengensystem, meist einer σ-Algebra, abbildet. Das komplexe Maß lässt jedoch als Wertebereich die komplexen Zahlen zu.

Definition

Sei Ω eine nichtleere Menge und $\mathcal{C} \subseteq 2^\Omega$ eine Teilmenge der Potenzmenge von Ω mit $\emptyset \in \mathcal{C}$.

Eine Mengenfunktion ν von $\mathcal{C}$ in die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ heißt komplexes Maß, wenn

$\nu(\emptyset) = 0$

und für jede disjunkte Familie $(A_i)_{i \in \mathbb{N}}$ mit $A_i \in \mathcal{C}$ und $\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i \in \mathcal{C}$

$\nu\left(\bigcup_{i \in\mathbb{N}}A_i\right) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)$

gilt, wobei die Reihe $\textstyle \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)$ absolut konvergieren muss, das heißt $\textstyle \sum_{i \in \mathbb{N}} |\nu(A_i)| < \infty$. Letztere Eigenschaft wird auch als σ-Additivität bezeichnet.

In den meisten Anwendungen ist das Mengensystem $\mathcal{C}$ eine σ-Algebra, dann ist $\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i$ immer in $\mathcal{C}$ enthalten.

Eigenschaften

Jedes endliche (Prä)Maß ist ein komplexes Maß, wenn man den reellen Bildbereich des Maßes in die komplexen Zahlen einbettet.

Siehe auch

• Signiertes Maß