Kontaminierte Normalverteilung

Die kontaminierte Normalverteilung ist eine besondere Form der Mischverteilung. Sie spielt eine große Rolle bei Robustheitsuntersuchungen der Schätzer und Tests.

Die reelle Zufallsvariable $X\,$ hat eine kontaminierte Normalverteilung, wenn sich ihre Dichtefunktion in der Form

$f(x)= (1 - \varepsilon)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\operatorname{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)^2} + \varepsilon\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\operatorname{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)^2}$

mit $\varepsilon\in [0,1]$, also als Konvexkombination von zwei Normalverteilungs-Dichtefunktionen darstellen lässt.

Die Verteilungsfunktion hat dann die Gestalt

$F = (1 - \varepsilon)\operatorname{N}(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}) + \varepsilon \operatorname{N}(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$.

Dabei gilt $\mu_1, \mu_2 \in \R, \sigma_1,\sigma_2 > 0, \operatorname{N}(\mu,\sigma^{2})$ ist die Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariable.

Für den Erwartungswert und die Varianz gilt:

$\operatorname{E}(X)= (1 - \varepsilon)\mu_1 + \varepsilon\mu_2$,

$\operatorname{Var}(X)= (1 - \varepsilon)\sigma_1^2 + \varepsilon\sigma_2^2+\varepsilon(1 - \varepsilon)(\mu_1-\mu_2)^2$.

Oft werden durch zusätzliche Bedingungen wie $\mu_1 =\mu_2 \,$ Spezialfälle abgeleitet (skalenkontaminierte Normalverteilung).

Beispiel

Ein Hersteller von elektronischen Geräten benutzt Kondensatoren mit der Kapazität 5 nF, die er von zwei Herstellern bezieht. Die von A hergestellten zeigen eine etwas geringere Streuung als die vom B. Vom Hersteller A stammen 60 % der bezogenen Kondensatoren, von B 40 %. Man nehme an, im genügend weiten Bereich ist die Kapazität der Kondensatoren von beiden Herstellern normalverteilt mit Parametern $\mu_1, \mu_2,\sigma_1^2, \sigma_2^2$ . Sei $\mu_1 = \mu_2 = 5 \,\operatorname{nF} \,$ und $\sigma_1^2= 0{,}0144 \,\operatorname{nF}^2, \sigma_2^2= 0{,}0225 \,\operatorname{nF}^2$.

Nun ist eine Abweichung von mehr als 10 % von dem Sollwert der Kapazität höchst unerwünscht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kondensator eine um mehr als 10 % abweichende Kapazität aufweist?

$10 \,\% \,\times \, 5 =0{,}5\,,$

$P(X < 4{,}5 \cup X>5{,}5) =$

$=\left( 0{,}6 \,\times \,\Phi \left( \frac{(5-0{,}5)-5}{\sqrt{0{,}0144 }}\right)\, +\, 0{,}4 \,\times \, \Phi \left( \frac{(5-0{,}5)-5}{\sqrt{0{,}0225 }}\right) \right)+$

$+\left( 1 - 0{,}6 \,\times \,\Phi \left( \frac{(5+0{,}5)-5}{\sqrt{0{,}0144 }}\right)\, +\, 0{,}4 \,\times \, \Phi \left( \frac{(5+0{,}5)-5}{\sqrt{0{,}0225 }}\right) \right)=$

$=\left( 0{,}6 \,\times \,\Phi \left( \frac{-0{,}5}{0{,}12 }\right)\, +\, 0{,}4 \,\times \, \Phi \left( \frac{-0{,}5}{0{,}15 }\right) \right)+\left(1- 0{,}6 \,\times \,\Phi \left( \frac{0{,}5}{0{,}12 }\right)\, +\, 0{,}4 \,\times \, \Phi \left( \frac{0{,}5}{0{,}15 }\right) \right) =$

$=2 \,\times \,\left( 0{,}6 \,\times \,\Phi \left( \frac{-0{,}5}{0{,}12 }\right)\, +\, 0{,}4 \,\times \, \Phi \left( \frac{-0{,}5}{0{,}15 }\right) \right) \approx$

$\approx 2 \,\times \,\left( 0{,}6 \,\times \, 0{,}000015464 + 0{,}4 \,\times \, 0{,}000429117 \right) = 0{,}000361849$

Ein Anteil von zirka 0,000361849 aller Kondensatoren zeigt bezüglich der Kapazität eine höhere Abweichung als 10 %.