- Kontinuierliche Fourier-Transformation
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Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Form der Fourier-Transformation (FT), die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Vorgänge in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. Oft wird diese Transformation auch einfach als Fourier-Transformation bezeichnet.
Für eine Begriffsklärung, Interpretationen, Hintergrund- und Anwendungsinformationen sowie eine detaillierte mathematische Herleitung sei auf den Artikel zur Fourier-Transformation verwiesen. Hier soll nur kurz die Formel angegeben werden:
Für eine zu transformierende Funktion f(t) ist die kontinuierliche Fourier-Transformation definiert durch
die Rücktransformation (Fouriersynthese) lautet
Hierbei ist F(ω) das kontinuierliche Spektrum, das die Amplitude jeder Frequenz ω aus den reellen Zahlen angibt.
Wichtige Fourier-Transformations Paare
Hier eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare. G und H sind die Fouriertransformierten der Funktionen g(t) bzw. h(t).
Signal Fouriertransformierte
KreisfrequenzFouriertransformierte
FrequenzHinweise
1 Linearität 2 Zeitverschiebung 3 Frequenzverschiebung (Äquivalent zu Nr. 2) 4 5 Dualität der Fouriertransformation durch Vertauschung der Variablen und . 6 7 Äquivalent zu Nr. 6 8 bedeutet die Faltung von mit 9 Äquivalent zu Nr. 8 Quadratisch integrierbare Funktionen Signal Fouriertransformierte
KreisfrequenzFouriertransformierte
FrequenzHinweise
10 Die Gaußsche Funktion exp( − t2 / 2) ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss Re(a) > 0 sein. 11 Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion. 12 Äquivalent zu Nr. 11. Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die sinc-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters. 13 a > 0. Die FT der um den Ursprung exponentiell abfallenden Funktion ist eine Lorentzkurve. 14 Äquivalent zu Nr. 13. Distributionen Signal Fouriertransformierte
KreisfrequenzFouriertransformierte
FrequenzHinweise
15 δ(ω) bezeichnet die Delta-Distribution. 16 Äquivalent zu Nr. 15. 17 Folgt aus Nr. 3 und 15. 18 Folgt aus Nr. 1 und 17 19 20 Hier ist n eine Natürliche Zahl. δn(ω) bezeichnet die n-te Ableitung der Delta-Distribution. 21 22 23 24 Θ(t) ist der Einheitssprung (Heaviside-Funktion). 25 Beispiel
Als Beispiel soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:
oder in komplexer Schreibweise:
Hier ist x0 die Amplitude und ωs die Kreisfrequenz der Schwingung, τ; die Zeit nach der die Amplitude auf 1 / e abgefallen ist und Θ(t) die Heaviside-Funktion. Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.
Man erhält
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