Kontinuierliche Fourier-Transformation

Kontinuierliche Fourier-Transformation

Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Form der Fourier-Transformation (FT), die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Vorgänge in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. Oft wird diese Transformation auch einfach als Fourier-Transformation bezeichnet.

Für eine Begriffsklärung, Interpretationen, Hintergrund- und Anwendungsinformationen sowie eine detaillierte mathematische Herleitung sei auf den Artikel zur Fourier-Transformation verwiesen. Hier soll nur kurz die Formel angegeben werden:

Für eine zu transformierende Funktion f(t) ist die kontinuierliche Fourier-Transformation definiert durch

\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t,

die Rücktransformation (Fouriersynthese) lautet

\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} \omega.

Hierbei ist F(ω) das kontinuierliche Spektrum, das die Amplitude jeder Frequenz ω aus den reellen Zahlen angibt.

Wichtige Fourier-Transformations Paare

Hier eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare. G und H sind die Fouriertransformierten der Funktionen g(t) bzw. h(t).

  Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
 g(t)\!\equiv\!

 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,
=\int_{-\infty}^{\infty}\!\! G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm{d}f\,

 G(\omega)\!\equiv\!

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,
 G(f)\!\equiv

\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,
1 a\cdot g(t) + b\cdot h(t)\, a\cdot G(\omega) + b\cdot H(\omega)\, a\cdot G(f) + b\cdot H(f)\, Linearität
2 g(t - a)\, e^{- i a \omega} G(\omega)\, e^{- i 2\pi a f} G(f)\, Zeitverschiebung
3 e^{ iat} g(t)\, G(\omega - a)\, G \left(f - \frac{a}{2\pi}\right)\, Frequenzverschiebung (Äquivalent zu Nr. 2)
4 g(a t)\, \frac{1}{|a|} G \left( \frac{\omega}{a} \right)\, \frac{1}{|a|} G \left( \frac{f}{a} \right)\,
5 G(t)\,  g(-\omega)\,  g(-f)\, Dualität der Fouriertransformation durch Vertauschung der Variablen  t \, und  \omega \,.
6 \frac{\mathrm{d}^n g(t)}{\mathrm{d}t^n}\,  (i\omega)^n  G(\omega)\,  (i 2\pi f)^n  G(f)\,
7 t^n g(t)\, i^n \frac{\mathrm{d}^n G(\omega)}{\mathrm{d}\omega^n}\, \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{\mathrm{d}^n G(f)}{\mathrm{d}f^n}\, Äquivalent zu Nr. 6
8 (g * h)(t)\, \sqrt{2\pi}\, G(\omega) H(\omega)\, G(f) H(f)\, g * h\, bedeutet die Faltung von g\, mit h\,
9 g(t) h(t)\, (G * H)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\, (G * H)(f)\, Äquivalent zu Nr. 8
 
Quadratisch integrierbare Funktionen
  Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
 g(t)\!\equiv\!

 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,
=\int_{-\infty}^{\infty}\!\! G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm{d}f\,

 G(\omega)\!\equiv\!

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,
 G(f)\!\equiv

\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,
10 \exp\left(-\frac{a t^2}{2}\right)\, \frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \exp\left(-\frac{\omega^2}{2a}\right) \begin{matrix}\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\end{matrix} \exp\left(-\begin{matrix}\frac{2\pi}{a}\end{matrix}\cdot \pi f^2\right) Die Gaußsche Funktion exp( − t2 / 2) ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss Re(a) > 0 sein.
11 \mathrm{rect}(a t) \, \frac{1}{\sqrt{2 \pi} |a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2 a}\right) \frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\pi\ \frac{f}{a}\right) Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion.
12  \mathrm{sinc}(a t) \equiv \frac{\mathrm{sin}(a t)}{a t}\, \frac{1}{|a|} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 a}\right) \frac{\pi}{|a|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\pi}{a} f \right) Äquivalent zu Nr. 11. Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die sinc-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters.
13 \exp\left(-a|t|\right) \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{\omega^{2}+a^{2}} \frac{2a}{(2\pi f)^{2}+a^{2}} a > 0. Die FT der um den Ursprung exponentiell abfallenden Funktion ist eine Lorentzkurve.
14 \frac{1}{t^{2}+a^{2}} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a}\exp\left(-a|\omega|\right) \frac{\pi}{a}\exp\left(-2\pi a|f|\right) Äquivalent zu Nr. 13.
 
Distributionen
  Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
 g(t)\!\equiv\!

 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,
=\int_{-\infty}^{\infty}\!\! G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm{d}f\,

 G(\omega)\!\equiv\!

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,
 G(f)\!\equiv

\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,
15 1\, \sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)\, \delta(f)\, δ(ω) bezeichnet die Delta-Distribution.
16 \delta(t)\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, 1\, Äquivalent zu Nr. 15.
17 e^{i a t}\, \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\, \delta(f - \frac{a}{2\pi})\, Folgt aus Nr. 3 und 15.
18 \cos (a t)\, \sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\, \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\, Folgt aus Nr. 1 und 17
19 \sin( at)\, \sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\, \frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\,
20 t^n\, i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\, \left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\, Hier ist n eine Natürliche Zahl. δn(ω) bezeichnet die n-te Ableitung der Delta-Distribution.
21 \frac{1}{t}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\, -i\pi\cdot \sgn(f)\,
22 \frac{1}{t^n}\, -i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega)\, -i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)\,
23 \sgn(t)\, \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\, \frac{1}{i\pi f}\,
24 \Theta(t) \, \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\, \frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\, Θ(t) ist der Einheitssprung (Heaviside-Funktion).
25 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \, \begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix}  \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\, \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \,

Beispiel

Als Beispiel soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:

 f(t) = x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \cos(\omega_s t) \Theta(t)

oder in komplexer Schreibweise:

 f(t) = x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \frac{1}{2} (e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}) \Theta(t)

Hier ist x0 die Amplitude und ωs die Kreisfrequenz der Schwingung, τ; die Zeit nach der die Amplitude auf 1 / e abgefallen ist und Θ(t) die Heaviside-Funktion. Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält


F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t

= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \frac{1}{2} (e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}) \Theta(t) \cdot e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t

= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^\infty e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \frac{1}{2} (e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}) \cdot e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t

= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} \int_{0}^\infty e^{-t(\frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega))} + e^{-t(\frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega))} \,\mathrm{d} t

= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} \left[ -{ 1 \over \frac{1}{\tau} -\mathrm{i}(\omega_s  -\omega ) } e^{-t(\frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega))} - { 1 \over \frac{1}{\tau} +\mathrm{i}(\omega_s  +\omega ) } e^{-t(\frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega))} \right]_0^\infty

= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} \left( { 1 \over \frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega)} + { 1 \over \frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega)} \right)

= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}} { \frac{1}{\tau} + \mathrm{i} \omega \over (\frac{1}{\tau} + \mathrm{i} \omega)^2 + \omega_s^2 }

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Fourier Transformation — Dieser Artikel gibt eine Übersicht über die üblichen Varianten der Fourier Transformation. Häufig wird die kontinuierliche Fourier Transformation kurz als Fourier Transformation bezeichnet; für anschauliche Beispiele siehe Artikel Fourier Analyse …   Deutsch Wikipedia

  • Fourier-Transformation — Die Fourier Transformation (genauer die kontinuierliche Fourier Transformation; Aussprache des Namens: fur je) ist eine Methode der Fourier Analysis, die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Signale in ein kontinuierliches Spektrum zu… …   Deutsch Wikipedia

  • Zeitdiskrete Fourier-Transformation — Dieser Artikel gibt eine Übersicht über die üblichen Varianten der Fourier Transformation. Häufig wird die kontinuierliche Fourier Transformation kurz als Fourier Transformation bezeichnet; für anschauliche Beispiele siehe Artikel Fourier Analyse …   Deutsch Wikipedia

  • Fourier-Koeffizient — Dieser Artikel gibt eine Übersicht über die üblichen Varianten der Fourier Transformation. Häufig wird die kontinuierliche Fourier Transformation kurz als Fourier Transformation bezeichnet; für anschauliche Beispiele siehe Artikel Fourier Analyse …   Deutsch Wikipedia

  • Fourier-Koeffizienten — Dieser Artikel gibt eine Übersicht über die üblichen Varianten der Fourier Transformation. Häufig wird die kontinuierliche Fourier Transformation kurz als Fourier Transformation bezeichnet; für anschauliche Beispiele siehe Artikel Fourier Analyse …   Deutsch Wikipedia

  • Fourier-Transformierte — Dieser Artikel gibt eine Übersicht über die üblichen Varianten der Fourier Transformation. Häufig wird die kontinuierliche Fourier Transformation kurz als Fourier Transformation bezeichnet; für anschauliche Beispiele siehe Artikel Fourier Analyse …   Deutsch Wikipedia

  • Fourier-Analysis — Die Fourier Analysis (Aussprache des Namens: fur je) auch bekannt als Fourier Analyse oder klassische harmonische Analyse ist die Theorie der Fourier Reihen und Fourier Integrale. Ihre Ursprünge reichen in das 18. Jahrhundert zurück. Benannt sind …   Deutsch Wikipedia

  • Kontinuierliche Fouriertransformation — Die kontinuierliche Fourier Transformation ist eine Form der Fourier Transformation (FT), die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Vorgänge in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. Oft wird diese Transformation auch einfach als Fourier… …   Deutsch Wikipedia

  • Diskrete Wavelet-Transformation — Mit Wavelet Transformation (WT, engl. wavelet transform) wird eine bestimmte Familie von linearen Zeit Frequenz Transformationen in der Mathematik und den Ingenieurswissenschaften (primär: Nachrichtentechnik, Informatik) bezeichnet. Die WT setzt… …   Deutsch Wikipedia

  • Kontiniuierliche Wavelet-Transformation — Mit Wavelet Transformation (WT, engl. wavelet transform) wird eine bestimmte Familie von linearen Zeit Frequenz Transformationen in der Mathematik und den Ingenieurswissenschaften (primär: Nachrichtentechnik, Informatik) bezeichnet. Die WT setzt… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”