Kontinuierliche Fourier-Transformation

Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Form der Fourier-Transformation (FT), die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Vorgänge in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. Oft wird diese Transformation auch einfach als Fourier-Transformation bezeichnet.

Für eine Begriffsklärung, Interpretationen, Hintergrund- und Anwendungsinformationen sowie eine detaillierte mathematische Herleitung sei auf den Artikel zur Fourier-Transformation verwiesen. Hier soll nur kurz die Formel angegeben werden:

Für eine zu transformierende Funktion f(t) ist die kontinuierliche Fourier-Transformation definiert durch

$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t,$

die Rücktransformation (Fouriersynthese) lautet

$\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} \omega.$

Hierbei ist F(ω) das kontinuierliche Spektrum, das die Amplitude jeder Frequenz ω aus den reellen Zahlen angibt.

Wichtige Fourier-Transformations Paare

Hier eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare. G und H sind die Fouriertransformierten der Funktionen g(t) bzw. h(t).

	Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,$ $=\int_{-\infty}^{\infty}\!\! G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm{d}f\,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,$
1	$a\cdot g(t) + b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega) + b\cdot H(\omega)\,$	$a\cdot G(f) + b\cdot H(f)\,$	Linearität
2	$g(t - a)\,$	$e^{- i a \omega} G(\omega)\,$	$e^{- i 2\pi a f} G(f)\,$	Zeitverschiebung
3	$e^{ iat} g(t)\,$	$G(\omega - a)\,$	$G \left(f - \frac{a}{2\pi}\right)\,$	Frequenzverschiebung (Äquivalent zu Nr. 2)
4	$g(a t)\,$	$\frac{1}{|a|} G \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$	$\frac{1}{|a|} G \left( \frac{f}{a} \right)\,$
5	$G(t)\,$	$g(-\omega)\,$	$g(-f)\,$	Dualität der Fouriertransformation durch Vertauschung der Variablen $t \,$ und $\omega \,$.
6	$\frac{\mathrm{d}^n g(t)}{\mathrm{d}t^n}\,$	$(i\omega)^n G(\omega)\,$	$(i 2\pi f)^n G(f)\,$
7	$t^n g(t)\,$	$i^n \frac{\mathrm{d}^n G(\omega)}{\mathrm{d}\omega^n}\,$	$\left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{\mathrm{d}^n G(f)}{\mathrm{d}f^n}\,$	Äquivalent zu Nr. 6
8	$(g * h)(t)\,$	$\sqrt{2\pi}\, G(\omega) H(\omega)\,$	$G(f) H(f)\,$	$g * h\,$ bedeutet die Faltung von $g\,$ mit $h\,$
9	$g(t) h(t)\,$	$(G * H)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,$	$(G * H)(f)\,$	Äquivalent zu Nr. 8
Quadratisch integrierbare Funktionen
	Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,$ $=\int_{-\infty}^{\infty}\!\! G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm{d}f\,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,$
10	$\exp\left(-\frac{a t^2}{2}\right)\,$	$\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \exp\left(-\frac{\omega^2}{2a}\right)$	$\begin{matrix}\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\end{matrix} \exp\left(-\begin{matrix}\frac{2\pi}{a}\end{matrix}\cdot \pi f^2\right)$	Die Gaußsche Funktion exp( − t2 / 2) ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss Re(a) > 0 sein.
11	$\mathrm{rect}(a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \pi} |a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2 a}\right)$	$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\pi\ \frac{f}{a}\right)$	Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion.
12	$\mathrm{sinc}(a t) \equiv \frac{\mathrm{sin}(a t)}{a t}\,$	$\frac{1}{|a|} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 a}\right)$	$\frac{\pi}{|a|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\pi}{a} f \right)$	Äquivalent zu Nr. 11. Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die sinc-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters.
13	$\exp\left(-a|t|\right)$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{\omega^{2}+a^{2}}$	$\frac{2a}{(2\pi f)^{2}+a^{2}}$	a > 0. Die FT der um den Ursprung exponentiell abfallenden Funktion ist eine Lorentzkurve.
14	$\frac{1}{t^{2}+a^{2}}$	$\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a}\exp\left(-a|\omega|\right)$	$\frac{\pi}{a}\exp\left(-2\pi a|f|\right)$	Äquivalent zu Nr. 13.
Distributionen
	Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,$ $=\int_{-\infty}^{\infty}\!\! G(f)e^{i2\pi ft}\mathrm{d}f\,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,$
15	$1\,$	$\sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)\,$	$\delta(f)\,$	δ(ω) bezeichnet die Delta-Distribution.
16	$\delta(t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$	$1\,$	Äquivalent zu Nr. 15.
17	$e^{i a t}\,$	$\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\,$	$\delta(f - \frac{a}{2\pi})\,$	Folgt aus Nr. 3 und 15.
18	$\cos (a t)\,$	$\sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\,$	$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\,$	Folgt aus Nr. 1 und 17
19	$\sin( at)\,$	$\sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\,$	$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\,$
20	$t^n\,$	$i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,$	$\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\,$	Hier ist n eine Natürliche Zahl. δn(ω) bezeichnet die n-te Ableitung der Delta-Distribution.
21	$\frac{1}{t}\,$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,$	$-i\pi\cdot \sgn(f)\,$
22	$\frac{1}{t^n}\,$	$-i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega)\,$	$-i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)\,$
23	$\sgn(t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\,$	$\frac{1}{i\pi f}\,$
24	$\Theta(t) \,$	$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\,$	$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\,$	Θ(t) ist der Einheitssprung (Heaviside-Funktion).
25	$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \,$	$\begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\,$	$\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \,$

Beispiel

Als Beispiel soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:

$f(t) = x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \cos(\omega_s t) \Theta(t)$

oder in komplexer Schreibweise:

$f(t) = x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \frac{1}{2} (e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}) \Theta(t)$

Hier ist x₀ die Amplitude und ω_s die Kreisfrequenz der Schwingung, τ; die Zeit nach der die Amplitude auf 1 / e abgefallen ist und Θ(t) die Heaviside-Funktion. Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält

$F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t$

$= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty x_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \frac{1}{2} (e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}) \Theta(t) \cdot e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t$

$= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^\infty e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \frac{1}{2} (e^{\mathrm{i}\omega_s t}+e^{-\mathrm{i}\omega_s t}) \cdot e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d} t$

$= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} \int_{0}^\infty e^{-t(\frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega))} + e^{-t(\frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega))} \,\mathrm{d} t$

$= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} \left[ -{ 1 \over \frac{1}{\tau} -\mathrm{i}(\omega_s -\omega ) } e^{-t(\frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega))} - { 1 \over \frac{1}{\tau} +\mathrm{i}(\omega_s +\omega ) } e^{-t(\frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega))} \right]_0^\infty$

$= \frac{x_0}{2 \sqrt{2 \pi}} \left( { 1 \over \frac{1}{\tau} - \mathrm{i}(\omega_s - \omega)} + { 1 \over \frac{1}{\tau} + \mathrm{i}(\omega_s + \omega)} \right)$

$= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}} { \frac{1}{\tau} + \mathrm{i} \omega \over (\frac{1}{\tau} + \mathrm{i} \omega)^2 + \omega_s^2 }$