- Kotangentialraum
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In der Differentialgeometrie ist der Kotangentialraum
am Punkt p einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M der Vektorraum, der dual zum Tangentialraum TpM ist. Er besteht also aus allen 1-Formen auf dem Vektorraum TpM
Inhaltsverzeichnis
Formale (kartenfreie) Definition
Wenn man den Tangentialraum TpM der Mannigfaltigkeit M im Punkt p erklärt hat, dann ist auch der Kotangentialraum als Dualraum von TpM definiert. Im Folgenden wird ein anderer Zugang dargestellt, bei dem der Dualraum direkt definiert wird, ohne Bezugnahme auf den Tangentialraum.
Es sei M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter seien Γp die Menge aller glatten Kurven durch
und
die Menge aller glatten Funktionen die in einer Umgebung Up von p definiert sind:
.
Bezeichnet man mit ∼p folgende Äquivalenzrelation auf
Umgebung von p:f | Up = g | Up,
dann ist der Faktorraum
der Vektorraum der Keime über p. Über
wird dann eine formale Paarung
definiert, die in der ersten Komponente linear ist. Nun ist
ein linearer Unterraum von
, genauer gesagt der Nullraum bzgl.
und
ist der n-dimensionale Kotangentialraum im Punkt
. Für den Kotangentialvektor [[f]p] schreibt man auch dfp.
Zusammenhang zum Tangentialraum
Mit der obigen Definition kann man auf Γp eine Äquivalenzrelation ∼ wie folgt definieren:
Der Faktorraum TpM: = Γp / ∼ beschreibt gerade den n-dimensionalen Tangentialraum.
Bilden nun
eine Basis von
, so kann man zu jedem Basisvektor einen Repräsentanten
auswählen.
ist eine differenzierbare Karte und für jedes
kann man eine Kurve
definieren, wobei ei der i-te Einheitsvektor im
ist. Wegen
sind TpM und
dual zueinander und man schreibt für
auch
.
Rechtfertigung der Schreibweisen
Sei
,
,
eine beliebige Funktion und für
die Kurven
, wobei ei die kanonischen Basisvektoren sind. Dann ist in den obigen Schreibweisen:
Somit ist die Schreibweise
gerechtfertigt.
Weiter ist mit
die lineare Abbildung
gerade das totale Differential df(p). Somit ist also auch die Schreibweise [[f]p] = dfp gerechtfertigt.
Literatur
- John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, 2. Aufl. New York 2003, ISBN 0-387-95448-1
- R. Abraham, Jerrold E. Marsden, & T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 0-201-10168-8
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