Kotangentialraum

In der Differentialgeometrie ist der Kotangentialraum $T^*_pM$ am Punkt p einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M der Vektorraum, der dual zum Tangentialraum T_pM ist. Er besteht also aus allen 1-Formen auf dem Vektorraum T_pM

Formale (kartenfreie) Definition

Wenn man den Tangentialraum T_pM der Mannigfaltigkeit M im Punkt p erklärt hat, dann ist auch der Kotangentialraum als Dualraum von T_pM definiert. Im Folgenden wird ein anderer Zugang dargestellt, bei dem der Dualraum direkt definiert wird, ohne Bezugnahme auf den Tangentialraum.

Es sei M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter seien Γ_p die Menge aller glatten Kurven durch $p\in M$

$c\colon (-\epsilon,\epsilon)\to M\,,\qquad c(0)=p$

und $C^\infty_p$ die Menge aller glatten Funktionen die in einer Umgebung U_p von p definiert sind:

$f:U_p\to\R$.

Bezeichnet man mit ∼_p folgende Äquivalenzrelation auf $C_p^\infty$

$f\sim_p g\qquad:\Leftrightarrow\qquad \exists U_p$ Umgebung von p:f | U_p = g | U_p,

dann ist der Faktorraum $\mathcal{F}_p:=C^\infty_p/\sim_p$ der Vektorraum der Keime über p. Über

$\langle [f]_p,c\rangle:=\frac{\operatorname d}{\operatorname{d}t}\Big|_{t=0}f\circ c(t)$

wird dann eine formale Paarung $\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathcal{F}_p\times\Gamma_p\to\R$ definiert, die in der ersten Komponente linear ist. Nun ist

$\mathcal{N}_p:=\{[n]_p\in\mathcal{F}_p|\forall c\in\Gamma_p:\langle[n]_p,c\rangle=0\}$

ein linearer Unterraum von $\mathcal F_p$, genauer gesagt der Nullraum bzgl. $\langle\cdot,\cdot\rangle$ und

$T^*_pM:=\mathcal{F}_p/\mathcal{N}_p$

ist der n-dimensionale Kotangentialraum im Punkt $p\in M$. Für den Kotangentialvektor [[f]_p] schreibt man auch df_p.

Zusammenhang zum Tangentialraum

Mit der obigen Definition kann man auf Γ_p eine Äquivalenzrelation ∼ wie folgt definieren:

$\gamma_1\sim\gamma_2\qquad\Leftrightarrow\qquad \forall df_p\in T^*_pM:\langle df_p,\gamma_1\rangle=\langle df_p,\gamma_2\rangle$

Der Faktorraum T_pM: = Γ_p / ∼ beschreibt gerade den n-dimensionalen Tangentialraum.

Bilden nun $dx_1,\ldots,dx_n$ eine Basis von $T^*_pM$, so kann man zu jedem Basisvektor einen Repräsentanten $x_i\in C_p^\infty$ auswählen. $x=(x_1,\ldots,x_n):M\to\R^n$ ist eine differenzierbare Karte und für jedes $i=1,\ldots,n$ kann man eine Kurve

$\begin{matrix} \gamma_i\colon&(-\epsilon;\epsilon)&\to& M\\ &t &\mapsto& x^{-1}(t\cdot e_i) \end{matrix}$

definieren, wobei e_i der i-te Einheitsvektor im $\R^n$ ist. Wegen

$\langle dx_i,[\gamma_j]\rangle=\delta_{ij}$

sind T_pM und $T^*_pM$ dual zueinander und man schreibt für $[\gamma_i]={dx_i}^*$ auch $\frac\partial{\partial x_i}$.

Rechtfertigung der Schreibweisen

Sei $M=\R^n$, $p\in\R^n$, $f:\R^n\to\R$ eine beliebige Funktion und für $i=1,\ldots,n$ die Kurven $\gamma_i\colon t\mapsto p+t\cdot e_i$, wobei e_i die kanonischen Basisvektoren sind. Dann ist in den obigen Schreibweisen:

$\langle [f]_p,[\gamma_i]\rangle=\frac{\operatorname d}{\operatorname{d}t}\Big|_{t=0}f\circ\gamma_i= \lim_{h\to0}\frac{f(p+h\cdot e_i)-f(p)}{h}=\frac\partial{\partial x_i}f(p)$

Somit ist die Schreibweise $[\gamma_i]=\frac\partial{\partial x_i}$ gerechtfertigt.

Weiter ist mit $T_pM=\R^n$ die lineare Abbildung $\langle [[f]_p],\cdot\rangle:T_pM\to\R$ gerade das totale Differential df(p). Somit ist also auch die Schreibweise [[f]_p] = df_p gerechtfertigt.

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, 2. Aufl. New York 2003, ISBN 0-387-95448-1
• R. Abraham, Jerrold E. Marsden, & T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 0-201-10168-8