Kubische Funktion

Graph einer Funktion 3. Grades; die Nullstellen (y=0) sind dort, wo der Graph die x-Achse schneidet. Der Graph hat zwei Extremwerte.

In der Mathematik versteht man unter einer kubischen Funktion eine Funktion $f: \R \to \R$ auf den reellen Zahlen, die die Form

$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2 + c\cdot x + d$

(mit $a \ne 0$) hat.

Eigenschaften

• Eine kubische Funktion hat in $\R$ mindestens eine und maximal drei Nullstellen. Zum Auffinden der Nullstellen einer kubischen Funktion siehe Kubische Gleichung und Cardanische Formeln. Das numerische Auffinden der Nullstellen ist beispielsweise mit dem Newton-Verfahren möglich.

• Normalform: Durch Verschiebung und Umskalierung lässt sich eine kubische Funktion auf die Form

$f(x)=x^3 + c\cdot x$

bringen. Dabei ist c eine reelle Zahl. Wir unterscheiden drei Fälle bezüglich c. Der erste Fall ist c>0. Dann besitzt f genau eine Nullstelle. Der zweite Fall ist c<0. Dann besitzt f drei Nullstellen. Im dritten Fall ist c=0. Hier liegt an der Stelle 0 ein Sattelpunkt.

• Der Funktionsgraph einer jeden kubischen Funktion in $\R$ ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt.

• Eine kubische Funktion ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades und somit auch eine rationale Funktion. Diese liegen in der Klasse der analytischen Funktionen.

Siehe auch

• Quadratische Funktion
• Polynom