Quadratische Funktion

Die Normalparabel

Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form

f (x) = a x 2 + b x + c

mit $a \ne 0$

ist. Der Graph ist die Parabel mit der Gleichung $y = a x 2 + b x + c$ . Für $a = 0$ ergibt sich eine lineare Funktion.

Inhaltsverzeichnis

1 Die allgemeine quadratische Funktion
2 Veranschaulichung der quadratischen Funktion durch einen Kegelschnitt
3 Brennpunkt der zugehörigen Parabel
4 Weitere Eigenschaften quadratischer Funktionen
5 Weblinks

Die allgemeine quadratische Funktion

Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist $x \mapsto a x^2 + b x + c$ . Ist $a = 1, b = 0$ und $c = 0$ so erhält man die Quadratfunktion $x \mapsto x^2$ . Die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ bestimmen den Wertebereich und die Form des Graphen. Analog lassen sich quadratische Funktionen mehrerer Variablen erklären, siehe dazu Quadrik.

Parameter a

Wie der Wert von $a$ die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man $b = 0$ und $c = 0$ setzt. Man erhält dann eine Normalparabel mit einem Faktor vor $x 2$ .

a > 0

: der Graph ist nach oben geöffnet.

a < 0

: der Graph ist nach unten geöffnet.

| a | < 1

: der Graph ist gestaucht, d. h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.

| a | > 1

: der Graph ist gestreckt, d. h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Für $a = - 1$ : ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt.

Positives und negatives a
Stauchung bei |a|<1
Streckung bei |a|>1

Parameter c

Eine Veränderung des Parameters c bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung. Wird $c$ um eins erhöht, dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird $c$ um eins verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.

Parameter b

Eine Veränderung des Parameters $b$ bewirkt eine Verschiebung sowohl in x- als auch in y-Richtung. Wird $b$ um eins erhöht, dann wird der Graph um $1 / 2 a$ Einheiten nach links und $(2 b + 1) / 4 a$ nach unten verschoben. Wird $b$ um eins verringert, wird der Graph dagegen um $1 / 2 a$ Einheiten nach rechts und $(2 b - 1) / 4 a$ nach oben verschoben.

Am Parameter $b$ kann man auch erkennen, mit welcher Steigung die Parabel die y-Achse schneidet. Insbesondere ist zu erkennen, ob die y-Achse mit dem fallenden oder dem ansteigenden Ast der Parabel geschnitten wird. Daraus lassen sich wiederum Rückschlüsse über die Zahl und die mögliche Lage von Nullstellen ziehen.

Scheitelpunktbestimmung

Der Scheitelpunkt ist maßgeblich für die Lage der Parabel und repräsentiert entweder das absolute Minimum (falls $a$ positiv ist) oder das absolute Maximum (wenn $a$ negativ ist). Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich direkt ablesen, wenn der Funktionsterm in die Scheitelpunktform umgeformt wird:

$f(x) = a \cdot \left( x-x_s \right)^2 + y_s$ .

Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten $S (x s | y s)$ . Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse durch $x s$ .

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Scheitelpunktes bietet die Differentialrechnung. Da der Scheitelpunkt immer eine (lokale) Extremstelle (Maximum bzw. Minimum) ist, liefert die Nullstelle der ersten Ableitung der Funktion den x-Wert des Scheitelpunktes:

$f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow f'(x)=2ax+b \,$ ,

$f'(x_s) = 0 \Leftrightarrow 2ax_s+b=0 \Leftrightarrow x_s=\frac{-b}{2a}.$

Durch Einsetzen ergibt sich der y-Wert:

$\Rightarrow y_s=f(x_s)=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c=\frac{4ac-b^2}{4a}.$

Beispiel

Bestimmung des Scheitelpunkts aus der quadratischen Funktion $f(x) = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 5$ .

Bestimmung des Scheitelpunktes über die Scheitelform der Funktion

$y = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 5$	Die ursprüngliche Funktionsgleichung
$y = 2 \cdot \left( x^2 + 2 \cdot x \right) + 5$	Der Faktor a vor dem x ² wurde ausgeklammert, wobei der Summand +5 ausgeschlossen bleibt
$y = 2 \cdot \left( x^2 + 2 \cdot x + 1 - 1 \right) + 5$	Es wird eine quadratische Ergänzung zu x ² + 2x durchgeführt
$y = 2 \cdot \left( \left( x + 1 \right) ^2 - 1 \right) + 5$	Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich mithilfe der binomischen Formeln aus einem Teil des Terms ein Quadrat heraus zu ziehen
$y = 2 \cdot \left( x + 1 \right) ^2 - 2 + 5$	Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst, um den Term zu vereinfachen
$y = 2 \cdot \left( x + 1 \right) ^2 + 3$	In der Endform lässt sich nun der Scheitelpunkt $S ( - 1 \| 3)$ ablesen.

Bestimmung des Scheitelpunktes mit Hilfe der Differentialrechnung

$f(x) = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 5$	Die ursprüngliche Funktionsgleichung
$f'(x) = 4 \cdot x + 4$	Die 1. Ableitung der Funktion
$4 \cdot x + 4 = 0 \Rightarrow x=-1$	Bestimmung der Nullstelle der 1.Ableitung durch Gleichsetzen mit Null
$y = f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 5$	x einsetzen in f(x)
$\Rightarrow y=3$	y berechnen

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten $S ( - 1 | 3)$ .

Nullstellen einer quadratischen Funktion

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ergeben sich durch Lösung der Gleichung $f (x) = 0$ , das heißt der quadratischen Gleichung

a x 2 + b x + c = 0

Veranschaulichung der quadratischen Funktion durch einen Kegelschnitt

Der Graph jeder quadratischen Funktion (eine Parabel) lässt sich geometrisch als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel darstellen. Genaueres dazu unter Kegelschnitt.

Brennpunkt der zugehörigen Parabel

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel und besitzt somit einen Brennpunkt. Dies wird bei einem Parabolspiegel praktisch genutzt. Mit einem solchen Spiegel kann man Fernsehprogramme empfangen oder mit Sonnenenergie möglichst hohe Temperaturen erzeugen. Siehe auch Parabel (Mathematik).

Der Brennpunkt der Parabel mit der Gleichung $y = a x 2$ ist $(0|\tfrac{1}{4a})$ .

Weitere Eigenschaften quadratischer Funktionen

Achsenschnittpunkte

	Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist $P_y(0\|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)$ Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist $P_{x_i}(x_i\|0)\Rightarrow f(x_i) = 0$ für i = 1 ; 2

Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist

$P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)$

Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist

$P_{x_i}(x_i|0)\Rightarrow f(x_i) = 0$ für i = 1 ; 2

Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen

Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion $x_1 ; x_2\,$ bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:

$x_s=\frac{x_1+x_2} {2} \Rightarrow S(x_s|f(x_s))$

p-q-Formel, Diskriminante und Lösungsmenge

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet: $x 2 + p x + q = 0$

p-q-Formel:

$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}$

Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt: $D=\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q$

Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu : $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}$

Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.

$D > 0 \Rightarrow L = \{x_1 ; x_2\}$ Zwei Lösungselemente

$D = 0 \Rightarrow L = \{x\}$ Ein Lösungselement (Doppellösung)

$D < 0 \Rightarrow L = \{ \}$ Kein Lösungselement

Der Satz von Vieta

Sind $x_1 ; x_2\,$ Lösungen der quadratischen Gleichung $x 2 + p x + q = 0$ so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta $x_1 + x_2 = -p \,$ und $x_1\cdot x_2=q$ überprüft werden.

Nullstellen und Linearfaktoren

Sind $x 1$ und $x 2$ die Nullstellen der quadratischen Funktion $f (x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0$ , so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:

$f(x) = a_2\cdot(x-x_1)(x-x_2)$

Schnittpunkt von Parabel und Gerade

$f (x)$ sei die Funktionsgleichung einer Parabel und $g (x)$ die einer Geraden. Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow$ quadratische Gleichung. Falls nun:

$D>0:\Rightarrow$ Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.

$D=0:\Rightarrow$ Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.

$D<0:\Rightarrow$ Die Parabel und die Gerade haben keinen Schnittpunkt.

Schnittpunkt zweier Parabeln

$f(x);\,g(x)$ seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln. Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow$ quadratische Gleichung. Falls nun:

$D>0:\Rightarrow$ Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.

$D=0:\Rightarrow$ Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.

$D<0:\Rightarrow$ Die Parabeln haben keinen Schnittpunkt.

f (x) - g (x)

ist eine lineare Gleichung $\Rightarrow\,$ Die Parabeln haben einen Schnittpunkt.

Weblinks

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Mathematische Funktion

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