Küstenlinienparadoxon

Unter Küstenlänge versteht man die Länge einer Küste. Wegen der sehr unregelmäßigen Form mancher Küsten hängt die ermittelte Länge stark von der Genauigkeit der benutzten Kartengrundlage und der Genauigkeit der Messung ab. Dabei zeigt sich, dass feinere Messungen zu einer größeren Küstenlänge führen. Der Mathematiker Benoît Mandelbrot hat die Längenbestimmung einer Küste mit der von selbstähnlichen Kurven verglichen. ^[1]

Küstenlänge als Landesinformation

Die Küstenlänge wird zusammen mit anderen Daten wie der Fläche und der geographischen Länge und Breite manchmal zur geographischen Beschreibung eines Landes oder einer Region angegeben. Dabei kann sowohl die absolute Länge der Küste interessieren als auch das Verhältnis zu anderen Größen wie beispielsweise zur Länge der Landgrenzen des jeweiligen Landes.

Alexander von Humboldt bestimmte das Verhältnis von Küstenlänge zur Fläche der Kontinente als ein Maß für die horizontale Gliederung der Landmassen. In einer größeren Berührung mit dem Meer sah er eine bessere Möglichkeit zur Erschließung eines Landes für den Welthandel. Dieses Verhältnis ist für Europa wegen der langen Küstenlinie besonders günstig und für Afrika besonders ungünstig.^[2]

Küstenlänge Deutschlands

Es gibt unterschiedliche Angaben für die Küstenlänge Deutschlands, bei denen jedoch selten angegeben wird, auf welche genaue Küstenlinie sie sich beziehen und wie sie bestimmt wurden. Die norddeutschen Küstenländer schätzen die Länge der Festlandküste auf etwa 1200 km.^[3] Bei dieser Angabe fehlen jedoch die Küstenlängen der Inseln.

Auf verschiedenen Internetseiten wird die Küstenlänge mit 2389 km angegeben, die auf einer Tabelle des Auslandsnachrichtendienstes der USA beruht, in der jedoch keine Angaben darüber gemacht werden, wie dieser Wert ermittelt wurde.^[4]

Die einzelnen deutschen Bundesländer geben in ihren statistischen Berichten teilweise mehrere oder gar keine Küstenlängen an. In Schleswig-Holstein wird zwischen der Küstenlänge an der Ostsee (328 km, einschließlich Fehmarn: 402 km) und an der Nordsee (202 km, einschließlich Inseln und Halligen: 468 km) unterschieden. Die Schlei, ein tief ins Landesinnere reichender Wasserarm, wird dabei nicht berücksichtigt.^[5] In Mecklenburg-Vorpommern wird die Länge der Außenküste (377 km) sowie die Länge der Bodden- und Haffküste (1568 km) angegeben.^[6]

Messung von Küstenlängen

Die Messung der Länge von unregelmäßigen Linien wie Küsten beruht auf auf dem Prinzip, dass sie durch eine messbare Näherungskurve angeglichen werden. Eine mögliche Approximation zur Längenbestimmung besteht darin, mit einem Stechzirkel Punkte in einem bestimmten Abstand G auf der Küstenlinie zu bestimmen. Aus der Anzahl der so gefundenen Küstenabschnitte und einem Reststück kann eine Näherung L(G) für die Küstenlänge angegeben werden. Wenn G klein genug ist, ist diese Küstenlänge unabhängig davon, von welchem Endpunkt der Küstenlinie die Messung begonnen wird.

Zunehmend feinere Messungen der Küstenlänge Großbritanniens mit unterschiedlich langen, geraden Meßabschnitten

Gerade Meßabschnitte von 200km Länge

Gerade Meßabschnitte von 100km Länge

Gerade Meßabschnitte von 50km Länge

Da in den benutzten Karten abhängig vom Maßstab nicht jedes Detail der Küste dargestellt werden kann und die Küstenlinie bei der Messung durch eine Näherungskurve approximiert wird, hängt das Ergebnis von dem Kartenmaßstab und dem Punktabstand G ab. Die geschätzte Küstenlänge L(G) konvergiert anders als bei glatten, mathematischen Kurven wegen der sehr unregelmäßige Küstenform mit kleiner werdendem G nicht gegen einen Grenzwert, sondern wird bei feineren Messungen größer.

Diese Eigenschaft hat Lewis Fry Richardson festgestellt, als er untersuchen wollte, wie die Länge der Grenze zweier Staaten mit der Wahrscheinlichkeit, dass diese Staaten miteinander Krieg führen, in Zusammenhang steht. Dabei fiel ihm auf, dass die Angaben zur Grenzlänge in verschiedenen Quellen erheblich voneinander abwichen. Bei empirischen Untersuchungen fand er zwischen dem Punktabstand G und der damit ermittelten Küstenlänge L(G) den Zusammenhang $L(G)=F \, G^{1-D}$ mit dem positiven Faktor F und der Konstanten D, deren Wert mindestens 1 ist und die charakteristisch für eine Grenze oder Küste ist. Bei einer geraden Linie ist D = 1, so dass die gemessene Länge unabhängig von G ist. Je unregelmäßiger die Küste ist, desto größer ist D. Für die sehr unregelmäßige Westküste Englands fand Richardson den Wert D = 1,25, d. h bei einer Halbierung von G wird L(G) etwa um den Faktor 1,19 größer.

Vergleich mit Fraktalen

Benoît Mandelbrot beschäftigte sich in den 1960ern mit Selbstähnlichkeit und fraktalen Kurven. Solchen Kurven wird auch eine nicht ganzzahlige Dimension wie die Hausdorff-Dimension zugeordnet. In einem Aufsatz Lewis Fry Richardsons ^[7] über Messung von Küstenlängen entdeckte Mandelbrot Ähnlichkeiten zu selbstähnlichen Kurven.^[8] Eine weitere Erwähnung dieser Tatsache fand Mandelbrot bei Jean-Baptiste Perrin. ^[9]

Daher veröffentlichte er 1967 in der Zeitschrift Science den Artikel How Long Is the Coast of Britain? (deutsch: Wie lang ist die Küste Britanniens?), in dem er Küstenlinien mit selbstähnlichen fraktalen Kurven verglich. Er zeigte, dass die von Richardson empirisch gefundene Konstante D bei der Bestimmung von Küstenlängen mit der Dimension selbstähnlicher Kurven vergleichbar ist, und beschrieb damit eine Anwendungsmöglichkeit von Fraktalen. Da für Küstenlinien nicht die strenge Selbstähnlichkeit konstruierter Kurven wie beispielsweise der kochschen Schneeflocke gilt, nannte Mandelbrot diese geographische Kurve eine statistisch selbstähnliche oder zufällige selbstähnliche Figur.

In dem 1967 veröffentlichten Artikel benutzt Mandelbrot den Begriff Fraktal noch nicht, er spricht lediglich von fractional dimensions (gebrochenen Dimensionen).

Einen Zusammenhang zwischen der angewendeten Genauigkeit bei der Messung von Längen sehr unregelmäßiger Kurven und der ermittelten Länge hatte Hugo Steinhaus bereits 1954 für die Länge des Westufers der Weichsel hergestellt. ^[10] Diese Überlegungen wurden jedoch weniger beachtet.^[8]

Grenzen des Vergleichs

Mandelbrot benutzte das Problem der Bestimmung von Küstenlängen nur als Ausgangspunkt, um eine Anwendungsmöglichkeit für Fraktale zu zeigen. Viele Nichtwissenschaftler sahen in dem Artikel jedoch einen Beweis, dass die Küstenlänge um so größer wird, je genauer sie bestimmt wird.^[8]

Die von Richardson gefundene empirische Formel gilt für den von ihm untersuchten Bereich. In diesem Maßstabsbereich verhalten sich Küstenlinien wie Fraktale. Die Formel kann jedoch nicht ohne weitere Überprüfung auf beliebig kleine Punktabstände und feine Messungen extrapoliert werden. Eine Anwendung der Formel auf beliebig hohe Genauigkeit hat schon deshalb in der realen Welt keinen Sinn, da die Definition der Küstenlinie wegen des veränderlichen Wasserstandes nicht beliebig genau bestimmbar ist.

In der Natur wie bei Pflanzen gilt die Selbstähnlichkeit von Strukturen nur für etwa drei bis fünf Stufen und nicht bis in unendlich kleine Strukturen.^[11] Daher kann aus Richardsons empirischer Formel nicht geschlossen werden, dass Küstenlinien unendlich lang sind.

Literatur

• Benoît Mandelbrot: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. In: Science 156, 5. Mai 1967, S. 636–638. (PDF; 32 kB; englisch)
• Benoît Mandelbrot: Fractals: Form, chance, and dimension. W.H. Freeman and Company, San Francisco 1977, ISBN 9780716704737.

Weblinks

• Artikel How Long Is the Coast of Britain? in der englischen Wikipedia
• Fraktale in der Natur mit Beispiel zur Messung der Küstenlänge
• Die gebrochen dimensionale Küstenlänge bei 3sat

Einzelnachweise

1. ↑ Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhäuser Verlag, Basel, 1987, Seite 37 - 46
2. ↑ Erde (Verteilung von Festland und Wasser, horizontale und vertikale Gliederung). In: Meyers Konversations-Lexikon. Bd. 5, 4. Aufl. Leipzig: Bibliographisches Institut, 1885–1892, S. 747
3. ↑ Landschaft und Klima bei Informationen des bisherigen Statistischen Landesamtes Schleswig-Holstein
4. ↑ Liste der Staaten, sortiert nach Küstenlänge in der englischen Wikipedia
5. ↑ Statistisches Jahrbuch Schleswig-Holstein 2007/2008 (PDF) (17. Kapitel: Gebiet und geografische Angaben)
6. ↑ Statistisches Amt Mecklenburg-Vorpommern (s. Daten > Landesdaten im Überblick)
7. ↑ Lewis Fry Richardson: The problem of contiguity: an appendix of statistics of deadly quarrels, General Systems Yearbook 6, 1961, Seite 139-187
8. ↑ ^{a b c} Benoît Mandelbrot: Anmerkungen zu How Long Is the Coast of Britain? (englisch)
9. ↑ Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhäuser Verlag, Basel, 1987, Seite 39
10. ↑ Hugo Steinhaus: Length, shape and area, Colloquim Mathematicum 3, Seite 1-13
11. ↑ Wikipedia: Fraktale in der Natur