Legendre-Kongruenz

Legendre-Kongruenz

Die Legendre-Kongruenz ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Es handelt sich um eine Kongruenz, bei der auf beiden Seiten je eine Quadratzahl steht:

x^2 \equiv y^2\ \pmod m

Diese nach Adrien-Marie Legendre benannten Kongruenzen bilden die Grundlage mehrerer Faktorisierungsverfahren. Unter Verwendung von Faktorbasen werden dort Legendre-Kongruenzen erzeugt, mit deren Hilfe wiederum Teiler von ganzen Zahlen berechnet werden. Beispiele sind die Kettenbruchmethode, das Quadratische Sieb und SQUFOF.

Eine Legendre-Kongruenz hat modulo m genau zwei Lösungen, wenn der Modulus m ein Primzahl größer Zwei ist. Diese werden als triviale Lösungen bezeichnet und lauten

x \equiv \pm y\ \pmod m

Ist der Modulus hingegen eine zusammengesetzte Zahl, so besitzt eine Legendre-Kongruenz noch zusätzliche Lösungen.

Quellen

  • Hans Riesel: Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. 2. Auflage. Birkhäuser, Boston 1994, ISBN 0-8176-3743-5, S. 156-158
  • Song Y. Yan: Number theory for computing. 2. Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-43072-5, S. 234-237

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