Lemma von Green

Der Satz von Green (auch Green-Riemannsche Formel oder Lemma von Green, gelegentlich auch Satz von Gauß-Green) erlaubt es, das Integral über eine ebene Fläche durch ein Kurvenintegral auszudrücken. Der Satz ist ein Spezialfall des Satzes von Stokes. Erstmals formuliert und bewiesen wurde er 1828 von George Green in An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.

Formulierung des Satzes

Sei S ein Kompaktum in der x-y-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand ∂S. Weiter seien f(x,y) und g(x,y) stetige Funktionen und ihre partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ und $\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)$ ebenfalls stetig auf S. Dann gilt

$\int_S \left(\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \oint_{\partial S}(f\, \mathrm{d}x + g \,\mathrm{d}y)$.

Bedeutung

Im Spezialfall $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$ und $\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=1$ kann der Flächeninhalt eines Gebietes alleine durch den Verlauf der Randkurve bestimmt werden:

$A(S) = \int_S 1 \, \mathrm dx \, \mathrm dy = \oint_{\partial S} x \, \mathrm dy$

Entsprechend können mit $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$ und $\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=x$ bzw. $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$ und $\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=y$ die Momente erster Ordnung durch ein Kurvenintegral berechnet werden, um den Schwerpunkt der Fläche S zu bestimmen:

$S_x = \frac{\int_S x \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y}{\int_S 1 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y} = \frac{\oint_{\partial S}\frac{x^2}{2} \, \mathrm{d}y}{\oint_{\partial S}x \,\mathrm{d}y}$.

Dieses Prinzip wird auch in Planimetern oder Integrimetern verwendet, um Flächeninhalte und Momente höherer Ordnung zu bestimmen.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rⁿ mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X