Satz von Green

Der Satz von Green (auch Green-Riemannsche Formel oder Lemma von Green, gelegentlich auch Satz von Gauß-Green) erlaubt es, das Integral über eine ebene Fläche durch ein Kurvenintegral auszudrücken. Der Satz ist ein Spezialfall des Satzes von Stokes. Erstmals formuliert und bewiesen wurde er 1828 von George Green in An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.

Formulierung des Satzes

Kompaktum D in der x-y-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand C.

Sei D ein Kompaktum in der x-y-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand $\partial D = C$ (siehe Abbildung). Weiter seien $f, g \colon D \to \R$ stetige Funktionen mit den ebenfalls auf D stetigen partiellen Ableitungen $\tfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ und $\tfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)$. Dann gilt:

$\iint_D \left(\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) - \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)\, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \oint_{C}\left(f(x,y)\, \mathrm{d}x + g(x,y) \,\mathrm{d}y\right)$

Dabei bedeutet $\textstyle \oint_{C} f(x,y)\, \mathrm{d}x$ das Kurvenintegral entlang C von $f(x,y)\cdot e_x$, also $\textstyle \oint_{C} f(x,y)\, \mathrm{d}x = \int_a^b f(\gamma_x(t), \gamma_y(t)) \cdot \dot{\gamma}_x(t) \mathrm{d}t$, falls C durch eine stückweise stetig differenzierbare Kurve $\gamma = (\gamma_x, \gamma_y): [a, b] \to C$ beschrieben wird. Analog wird $\textstyle \oint_{C} g(x,y)\, \mathrm{d}y$ definiert.

Anwendungsbeispiele

Flächeninhalt

Wählt man $f(x,y)=0\,$ und $g(x,y)=x\,$, so lauten die partiellen Ableitungen $\tfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$ und $\tfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)=1$. Die Integrale beschreiben dann den Flächeninhalt von D, der alleine durch den Verlauf der Randkurve eindeutig bestimmt ist und statt durch ein Doppelintegral durch ein Kurvenintegral berechnet werden kann:

$A(D) = \iint_D 1 \, \mathrm dx \, \mathrm dy = \oint_{C} x \, \mathrm dy$

Wählt man $f(x,y)=-y\,$ und $g(x,y)=0\,$, so erhält man analog

$A(D) = \iint_D 1 \, \mathrm dx \, \mathrm dy = - \oint_{C} y \, \mathrm dx$

Flächenschwerpunkt

Wählt man $f(x,y)=0\,$ und $g(x,y)=x^2/2\,$, so lauten die partiellen Ableitungen $\tfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$ und $\tfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)=x$. Dann kann man die x-Koordinate des Schwerpunktes der Fläche D durch ein Kurvenintegral berechnen:

$x_s = \frac{1}{A(D)} \iint_D x \, \mathrm dx \, \mathrm dy = \frac{1}{2 A(D)} \oint_{C} x^2 \, \mathrm dy$

Entsprechend erhält man mit $f(x,y)=-y^2/2\,$ und $g(x,y)=0\,$ für die y-Koordinate des Schwerpunktes der Fläche D:

$y_s = \frac{1}{A(D)} \iint_D y \, \mathrm dx \, \mathrm dy = \frac{-1}{2 A(D)} \oint_{C} y^2 \, \mathrm dx$

Dieses Prinzip wird auch in Planimetern oder Integrimetern verwendet, um Flächeninhalte und Momente höherer Ordnung zu bestimmen.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rⁿ mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X