Linearer Raum (Geometrie)

Ein linearer Raum, manchmal auch als Inzidenzraum bezeichnet, ist eine grundlegende Struktur in der Inzidenzgeometrie. Als eigenständiger Begriff wurde er 1964 von Libois eingeführt.

Definition

Sei L = (P,G,I) eine Inzidenzstruktur, bei der man die Elemente von P als Punkte und die Elemente von G als Geraden bezeichnet. Weiterhin verwendet man für die Inzidenzrelation auch die Sprechweisen ein Punkt p liegt auf einer Geraden g ($p\, I\, g$ mit $p\in P,g\in G$) und eine Gerade g geht durch einen Punkt p ($g\, I\, p$ mit $p\in P, g\in G$). Die Inzidenzstruktur L wird als linearer Raum bezeichnet, wenn die folgenden 3 Axiome erfüllt sind:

• (L1) Durch 2 Punkte geht genau eine Gerade.
• (L2) Auf jeder Geraden liegen mindestens 2 Punkte.
• (L3) L besitzt mindestens 2 Geraden.

Gelegentlich wird das Axiom L3 in der Literatur nicht gefordert, in einem solchen Fall bezeichnet man diejenigen linearen Räume die es dennoch erfüllen als nicht triviale lineare Räume.

Beispiele

Die normale euklidische Ebene bildet einen linearen Raum. Etwas allgemeiner sind alle affinen und projektiven Räume und damit insbesondere auch projektive Ebenen lineare Räume.

Im folgenden sind alle linearen Räume mit fünf Punkten ( | P | = 5) aufgelistet. Hierbei ist es üblich in der graphischen Darstellung alle Geraden mit nur zwei Punkten aus Gründen der Übersicht nicht zu zeichnen.

10 Geraden	8 Geraden	6 Geraden	5 Geraden

Einen linearen Raum mit n Punkten der eine Gerade mit n-1 Punkten besitzt bezeichnet man als near pencil.

near pencil mit 10 Punkten (10 Geraden)

Siehe auch

• Blockplan
• projektiver Raum
• Fano-Ebene
• projektive Geometrie
• projektive Ebene

Literatur

• A. Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie II. S. 159, Bibliographisches Institut 1983, ISBN 3-411-01648-5
• J.H. van Lint, R.M. Wilson: A Course in Combinatorics. S. 188, Cambridge University Press 1992,ISBN 0-521-42260-4
• L.M. Batten, A. Beutelspacher: The Theory of Finite Linear Spaces. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

Weblinks

• Geometrieskript (PDF-Datei; 326 kB)
• Skript zur Inzidenzgeometrie