Lipschitz-Bedingung

Lipschitz-Stetigkeit (nach Rudolf Lipschitz) ist ein Begriff aus der Analysis.

Definition

Eine Funktion $f:\R\rightarrow\R$ heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante L existiert mit

$\forall x_1,x_2 \in\R : |f(x_1)-f(x_2)|\le L \cdot |x_1-x_2|\,.$

Dies ist ein Spezialfall der folgenden, allgemeinen Definition.

Seien (X,d_X) und (Y,d_Y) metrische Räume. Eine Funktion $f:X\rightarrow Y$ heißt Lipschitz-stetig, falls es eine (nichtnegative) reelle Zahl L gibt, sodass

$\forall x_1,x_2 \in X : d_Y(f(x_1),f(x_2)) \le L \cdot d_X(x_1,x_2)$

erfüllt ist. L wird Lipschitz-Konstante genannt. Anschaulich gesprochen, ist die Steigung von f nach oben durch L beschränkt. Ist eine Funktion Lipschitz-stetig, so sagt man auch sie erfülle die Lipschitz-Bedingung.

Eine Abschwächung der Lipschitz-Stetigkeit ist die lokale Lipschitz-Stetigkeit. Eine Funktion $f:X\rightarrow Y$ heißt lokal Lipschitz-stetig, wenn es um jeden Punkt in X eine Umgebung gibt, sodass die Einschränkung von f auf diese Umgebung Lipschitz-stetig ist. Eine Funktion die nur auf einer Teilmenge $A\subset X$ definiert ist, heißt Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig, wenn sie Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig bezüglich der metrischen Räume (A,d_X | A) und (Y,d_Y) ist.

Eigenschaften

Lipschitz-stetige Funktionen sind lokal Lipschitz-stetig. (Wähle ganz X als Umgebung und stets L als Lipschitz-Konstante.) Lokal Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig (Wähle $\delta=\varepsilon/ L$ in der $\varepsilon$-δ-Definition der gleichmäßigen Stetigkeit.) und entsprechend sind Lipschitz-stetige Funktionen gleichmäßig stetig. Daher ist Lipschitz-Stetigkeit „stärker“ als gleichmäßige Stetigkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, so ist z. B. die Funktion $f:[0,1]\rightarrow\R,~x\mapsto\sqrt x$ zwar Hölder-stetig mit Exponenten 1 / 2 und daher gleichmäßig stetig, jedoch nicht Lipschitz-stetig (siehe Beispiel).

Nach dem Satz von Rademacher ist eine lipschitzstetige Funktion fast überall differenzierbar. Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar, aber nicht lipschitzstetig sind, z. B. $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},~x\mapsto x^2$. Eine differenzierbare Funktion $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ mit $a,b\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ ist genau dann lipschitzstetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

Anwendung

Lipschitz-Stetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen (siehe Satz von Picard-Lindelöf). Abbildungen mit einer Lipschitz-Konstante kleiner als eins nennt man Kontraktion. Diese sind wichtig für den Fixpunktsatz von Banach.

Beispiele

Für eine Lipschitz-stetige Funktion $f:(X,d_X)\rightarrow (Y,d_Y)$ ist der Quotient

$\frac{d_Y(f(x),f(y))}{d_X(x,y)}$

mit $x\neq y\in X$durch jede Lipschitz-Konstante von f nach oben beschränkt. Für lokal Lipschitz-stetige Funktionen ist der Quotient auf hinreichend kleinen Umgebungen beschränkt.

Daher ist die Funktion $f: [0,1]\to\R$ mit $x\mapsto\sqrt x$ wegen

$\frac{|f(x)-f(0)|}{|x-0|}=\frac 1{\sqrt x}\xrightarrow{x\searrow 0}\infty$

zwar stetig und sogar gleichmäßig stetig jedoch nicht lokal Lipschitz-stetig und folglich auch nicht Lipschitz-stetig.

Für die Funktion $g:[a,b]\to\R$ mit $x\mapsto x^2$ folgt mit

$L:=\max_{x,y \in [a,b]}(|x+y|)=2\max{(|a|,|b|)},$

dass

$|g(x)-g(y)|=|x^2-y^2|=|x+y|\cdot|x-y|\leq L\cdot |x-y|.$

Das heißt, L ist eine Lipschitz-Konstante für diese Funktion.

Weil für g der Quotient gleich | x + y | ist, folgt, dass g nur für einen beschränkten Definitionsbereich Lipschitz-stetig ist, für unbeschränkte jedoch nicht.