Lokal zusammenhängend

Zusammenhängende und nicht zusammenhängende Unterräume von R². Der farbig eingezeichnete Raum ist im Fall der oberen Zeichnung zusammenhängend, im unteren Fall dagegen nicht.

In der mathematischen Topologie gibt es verschiedene Begriffe, die die Art und Weise des Zusammenhangs eines topologischen Raumes beschreiben. Im Allgemeinen heißt ein topologischer Raum X zusammenhängend, falls es nicht möglich ist, ihn in zwei disjunkte, nichtleere, offene Teilmengen aufzuteilen. Ein Teilraum eines topologischen Raumes heißt zusammenhängend, wenn er unter der induzierten Topologie zusammenhängend ist.

Eine maximale zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes heißt Zusammenhangskomponente.

Formale Definition

Für einen topologischen Raum $\big( X,\mathcal O\big)$ sind folgende Aussagen äquivalent:

1. X ist zusammenhängend.
2. X kann nicht in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegt werden:

   $\forall O_1, O_2 \in \mathcal{O}, O_1 \neq \emptyset, O_2 \neq \emptyset: O_1 \cap O_2 = \emptyset\Rightarrow O_1 \cup O_2 \neq X$

3. X kann nicht in zwei disjunkte nichtleere abgeschlossene Mengen zerlegt werden:

   $\forall O_1, O_2 \in \mathcal{O}, O_1 \neq \emptyset, O_2 \neq \emptyset: (X \setminus O_1) \cap (X \setminus O_2) = \emptyset\Rightarrow (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2) \neq X$

4. X und $\emptyset$ sind die beiden einzigen Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind.
5. Die einzigen Mengen mit leerem Rand sind X und $\emptyset$.
6. X kann nicht als Vereinigung zweier nichtleerer getrennter Mengen geschrieben werden.
7. Jede stetige Abbildung von X in einen diskreten topologischen Raum ist konstant.
8. Jede lokal konstante Funktion ist konstant.

Globale Zusammenhangsbegriffe

Die folgenden Begriffe beziehen sich immer auf den ganzen Raum, sind also globale Eigenschaften:

Total unzusammenhängend

Ein Raum ist total unzusammenhängend, falls er keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt besitzt, wenn also alle Zusammenhangskomponenten einpunktig sind. Jeder diskrete topologische Raum ist total unzusammenhängend. In diesem Fall sind die (einpunktigen) Zusammenhangskomponenten offen. Ein Beispiel für einen nicht diskreten total unzusammenhängenden Raum ist die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb Q$ mit der von $\mathbb R$ induzierten Topologie.

Dieser Unterraum von $\R^2$ ist wegzusammenhängend, weil je zwei Punkte durch einen Weg verbunden sind.

Wegzusammenhängend

Dieser Unterraum von $\R^2$ ist nicht wegzusammenhängend

Ein topologischer Raum X ist wegzusammenhängend (oder pfad-zusammenhängend oder kurvenweise zusammenhängend), falls es für jedes Paar von Punkten x, y aus X einen Weg p von x nach y gibt, d.h. eine stetige Abbildung $p : [0,1] \to X$ mit p(0) = x und p(1) = y.

Wegzusammenhängende Räume sind immer zusammenhängend. Etwas überraschend ist auf den ersten Blick jedoch vielleicht, dass es Räume gibt, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sind. Ein Beispiel ist die Vereinigung des Graphen von

$(0,\infty) \to \mathbb R, \quad x\mapsto \sin (1/x)$

mit einem Abschnitt der y-Achse zwischen ‒1 und 1. Da in jeder Umgebung der Null auch ein Stück des Graphen liegt, kann man die y-Achse nicht vom Graphen als eine offene Teilmenge abtrennen; die Menge ist also zusammenhängend. Andererseits gibt es keinen Weg von einem Punkt auf dem Graphen zu einem Punkt auf der y-Achse, also ist diese Vereinigung nicht wegzusammenhängend.

Einfach zusammenhängend

Ein Raum ist einfach zusammenhängend, falls er wegzusammenhängend ist und sich jeder geschlossene Weg auf einen Punkt zusammenziehen lässt, d.h. nullhomotop ist. Die zweite Bedingung ist dazu äquivalent, dass die Fundamentalgruppe trivial ist. Das Komplement des farbig eingezeichneten Gebietes ist z. B. in beiden Fällen der obersten Zeichnung   nicht   „einfach zusammenhängend“; im Falle der unteren Hälfte könnte es sich bei dem weiß eingezeichneten Gebiet etwa um eine Darstellung der Topologie der Oberfläche einer „Kugel mit vier Henkeln“ handeln, wobei die durch die Henkel erzeugten „Löcher“ dem violett gefärbtem Gebiet entsprechen.

n-zusammenhängend

Ist n eine nichtnegative ganze Zahl, so heißt ein topologischer Raum X n-zusammenhängend, falls alle Homotopiegruppen $\pi_{\,k\,}(X)$ für $0\leq k\leq n$ trivial sind. "0-zusammenhängend" ist also ein Synonym für "wegzusammenhängend", und "1-zusammenhängend" bedeutet dasselbe wie "einfach zusammenhängend" im oben definierten Sinne.

Zusammenziehbar

Ein Raum X ist zusammenziehbar, falls er homotopieäquivalent zu einem Punkt ist, d.h. die Identität auf X homotop zu einer konstanten Abbildung ist. Zusammenziehbare Räume haben daher aus topologischer Sicht ähnliche Eigenschaften wie ein Punkt, insbesondere sind sie immer einfach zusammenhängend. Aber die Umkehrung gilt nicht: n-Sphären mit festem Radius sind   nicht   zusammenziehbar, obwohl sie für $n\ge 2$ einfach zusammenhängend sind.

Lokale Zusammenhangsbegriffe

Kamm: zusammenhängend aber nicht lokal zusammenhängend

Die folgenden Begriffe sind lokale Eigenschaften, sie machen also Aussagen über das Verhalten in Umgebungen von Punkten:

Lokal zusammenhängend

Ein Raum ist lokal zusammenhängend, falls es zu jeder Umgebung eines Punktes eine zusammenhängende kleinere Umgebung dieses Punktes gibt. Jeder Punkt besitzt dann eine Umgebungsbasis aus zusammenhängenden Mengen.

Ein lokal zusammenhängender Raum kann durchaus aus mehreren Zusammenhangskomponenten bestehen. Aber auch ein zusammenhängender Raum muss nicht unbedingt lokal zusammenhängend sein: Der „Kamm“ bestehend aus der Vereinigung der Intervalle $[0,1]\times \{1/n\}$, $[0,1]\times \{0\}$ und dem Intervall $\{0\} \times [0,1]$ ist zusammenhängend, doch jede genügend kleine Umgebung des Punktes (1,0) enthält unendlich viele nicht zusammenhängende Intervalle.

Buch: wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend

Lokal wegzusammenhängend

Ein Raum ist lokal wegzusammenhängend, falls jeder Punkt eine lokale Basis bestehend aus wegzusammenhängenden Mengen besitzt. Ein lokal wegzusammenhängender Raum ist wegzusammenhängend genau dann, wenn er zusammenhängend ist. Das oben gegebene Beispiel mit dem Graphen von sin(1/x) und der y-Achse ist daher nicht lokal wegzusammenhängend. Weiterhin ist das 'Buch' wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend für alle Punkte außer dem Schnittpunkt aller Geradenstücke.

Hawaiische Ohrringe: nicht lokal einfach zusammenhängend

Lokal einfach zusammenhängend

Ein Raum ist lokal einfach zusammenhängend, wenn jede Umgebung eines Punktes eine evtl. kleinere, einfach zusammenhängende Umgebung enthält.

Mannigfaltigkeiten sind lokal einfach zusammenhängend.

Ein Beispiel für einen nicht lokal einfach zusammenhängenden Raum sind die „Hawaiischen Ohrringe“: Die Vereinigung von Kreisen mit Radien 1 / n als Teilmenge des $\mathbb R^2$, so dass sich alle Kreise in einem Punkt berühren. Dann enthält jede Umgebung um den Berührpunkt einen geschlossenen Kreis, und ist daher nicht einfach zusammenhängend.

Semilokal einfach zusammenhängend

Ein Raum X ist semilokal einfach zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebung U besitzt, so dass sich jede Schleife in U in X zusammenziehen lässt (in U muss sie nicht notwendigerweise zusammenziehbar sein, daher nur semilokal).

Semilokal einfach zusammenhängend ist eine schwächere Bedingung als lokal einfach zusammenhängend: Ein Kegel über den Hawaiischen Ohrringen ist semilokal einfach zusammenhängend, da sich jede Schleife über die Kegelspitze zusammenziehen lässt. Er ist aber (aus dem gleichen Grund wie die Hawaiischen Ohrringe selbst) nicht lokal einfach zusammenhängend.

Literatur

• Klaus Jänich: Topologie, 7-te Auflage. Springer 2001. ISBN 3-540-41284-0
• Munkres, James R.: Topology, Second Edition. Prentice Hall 2000, ISBN 0-13-181629-2

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Connected Set auf MathWorld (englisch)
• Connected Set Eintrag der Springer Encyclopedia of Mathematics