Lokal konstante Funktion

In der Mathematik heißt eine Funktion $f: T \to M$ von einem topologischen Raum T in eine Menge M lokal konstant, wenn für jedes $x \in T$ eine Umgebung U von x existiert, auf der f konstant ist.

Eigenschaften

• Jede konstante Funktion ist auch lokal konstant.
• Jede lokal konstante Funktion von $\mathbb R$ in eine beliebige Menge M ist konstant, da $\mathbb R$ zusammenhängend ist und nicht durch mindestens zwei disjunkte offene Mengen zu überdecken ist.
• Jede lokal konstante holomorphe Funktion $f: M \to \mathbb C$ von einer offenen Menge M in die komplexen Zahlen ist konstant, wenn M ein Gebiet ist, also zusammenhängend ist.
• Eine Abbildung $f: T \to D$ von einem topologischen Raum T in einen diskreten Raum D ist genau dann stetig, wenn sie lokal konstant ist.
• Jede Abbildung $f: D \to T$ von einem diskreten Raum D in einen beliebigen topologischen Raum T ist lokal konstant.
• Die Menge der lokal konstanten Funktionen auf einem Raum bilden auf natürliche Weise eine Garbe kommutativer Ringe.

Beispiele

• Die Funktion $f: \mathbb Q \to \mathbb Q$, definiert durch f(x) = 0 für x < π und f(x) = 1 für x > π ist lokal konstant. (Hierbei geht ein, dass π irrational ist, da so {x | x < π} und {x | x > π} offene Mengen sind, die $\mathbb Q$ überdecken.)
• Die Funktion $g: \R \setminus\{0\} \to \R$, definiert durch g(x) = 0 für x < 0 und g(x) = 1 für x > 0, ist ebenso lokal konstant.
• Die Signum-Funktion ist nicht lokal konstant.
• Treppenfunktionen sind nicht lokal sondern stückweise konstant