Lokale Messbarkeit

In der Mathematik, genauer in der Maßtheorie, ist lokale Messbarkeit eine Eigenschaft, die Funktionen zukommt.

Definition

Sei $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum und $(S,\mathcal B)$ ein Messraum. Eine Abbildung $f: A \to B$ heißt lokal messbar, falls für jedes $A\in \mathcal A$ mit $\mu(A) <\infty$ die Abbildung $f|_A: (A, \mathcal A \cap A) \to (S, \mathcal B)$ messbar ist, d.h. falls für jedes $B \in \mathcal B$ stets $f^{-1}(B) \cap A \in \mathcal A$ ist.

Eigenschaften

• Jede messbare Funktion ist auch lokal messbar.
• Ist $(\Omega,\mathcal A, \mu)$ ein σ-endlicher Maßraum, so ist jede lokal messbare Funktion auch messbar, im Allgemeinen ist dies jedoch falsch.