Lorenz-Eichung

Die Lorenz-Eichung, nach Ludvig Lorenz, ist ein Begriff aus der Eichtheorie. Sie wird oft fälschlicherweise als Lorentz-Eichung bezeichnet und Hendrik Antoon Lorentz zugeschrieben, nach dem die Lorentz-Transformationen benannt sind.

Ein elektromagnetisches Feld besteht aus einem E-Feld und einem B-Feld. Man kann diese auch durch Angabe des Vektorpotentials zusammen mit dem skalaren Potential beschreiben. Die Beschreibung des elektromagnetischen Feldes durch Potentiale ist nicht eindeutig, d.h. es gibt eine sogenannte Eichfreiheit. Diese zusätzlichen Freiheiten können dazu genutzt werden, die Gleichungen der Problemstellung anzupassen und zu vereinfachen, indem eine Eichung eingeführt wird. Eine solche ist die Lorenz-Eichung, die häufig zur Berechnung elektromagnetischer Wellen benutzt wird.

Die Eichfreiheit der elektrodynamischen Potentiale wird dahingehend ausgenutzt, dass die Summe aus der Divergenz des Vektorpotentials $\vec A$ und der ersten partiellen Ableitung des skalaren Potentials Φ nach der Zeit t Null ergibt. Je nachdem, ob man das Gaußsche oder das SI-Einheitensystem verwendet, muss man die zeitliche Ableitung des skalaren Feldes noch durch c oder c² teilen. Im SI-System gilt:

${\rm div} \vec A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t}\phi = 0$ (SI-System)

Im cgs-System, das auch im Folgenden benutzt wird, ist stattdessen

${\rm div} \vec A + \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\phi = 0$ (Gauß-System)

oder in der Schreibweise mit dem Vierervektor A^µ

$\partial_{\mu}A^{\mu} = 0$

In der Sprache der Differentialformen kann die Lorenz-Eichung geschrieben werden als

$\star d \star A=0$

wobei $\star$ der Hodge-Stern-Operator, d die äußere Ableitung und A = A_μdx^μ die Potentialform ist.

Somit geht aus der vierdimensionalen Formel der inhomogen Maxwell-Gleichungen

$\partial_{\mu} F^{\mu\nu} = \frac{4 \pi}{c} j^\nu$

und dem Feldstärketensor

$F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$

der folgende Ausdruck hervor:

$\partial_{\mu} F^{\mu\nu} = \partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu \partial^\nu A^\mu = \square A^\nu - \partial^\nu \partial_\mu A^\mu = \frac{4 \pi}{c} j^\nu$

Unter Verwendung der Lorenzeichung $\partial_{\mu}A^{\mu} = 0$ ergeben sich die Wellengleichungen im Vierdimensionalen (mit dem D’Alembertoperator $\square$):

$\square A^\nu = \frac{4 \pi}{c} j^\nu$

Man kann also die Differentialgleichung für jede Komponente des Potentials bzw. des Stroms gesondert lösen. Die Lorenz-Eichung hat wie jede Eichung die Eigenschaft, die physikalisch messbaren Felder unverändert zu lassen. Das Besondere ist die relativistische Invarianz der Lorenz-Eichung, also die Invarianz der so umgeeichten Potentiale gegenüber der Lorentztransformation, benannt nach Hendrik Antoon Lorentz.

Lösung der zuletzt genannten Gleichung sind die sog. retardierten Viererpotentiale

$A^\nu (\mathbf r , t) =\int\,\frac{j^\nu (\mathbf{r'},t-\frac{|\mathbf r -\mathbf{r'}|}{c}) }{c\cdot|\mathbf r -\mathbf{r'}|}\,\mathrm d^3 r'\,$

Anstelle der Lorenz-Eichung wird häufig die Coulomb-Eichung benutzt.

Literatur

• L. Lorenz: On the Identity of the Vibrations of Light with Electrical Currents. In: Philos. Mag. 34, 287-301, 1867.
• R. Nevels & C. Shin: Lorenz, Lorentz, and the Gauge. In: IEEE Antennas and Propagation Magazine, Vol. 43, No, 3, June 2001, doi:10.1109/74.934904
• A. Sihvola: Lorenz-Lorentz or Lorentz-Lorenz, In: IEEE Antennas and Propagation Magazine, 33, 4, August 1991, p. 56.