Lösen von Gleichungen

Umformung von Gleichungen

Gleichungen werden durch Äquivalenz-Umformungen gelöst, die den Wahrheitswert der Gleichung unverändert lassen (logische Äquivalenz). Dabei sind eine Reihe von Aktionen erlaubt, sofern sie auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens gleich ausgeführt werden.

Als Ziel kann man beispielsweise jede Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine Null steht, sodass anschließend ein Verfahren zum Bestimmen von Nullstellen angewendet werden kann, womit dann auch die Ausgangsgleichung gelöst würde.

Umformungen kann man sich gut am Modell einer Waage vorstellen, die sich im Gleichgewicht befindet, und auf der die Größen einer Gleichung durch Gewichte repräsentiert werden (das Modell hat natürlich Grenzen und versagt z. B. bei negativen Zahlen). Äquivalenz-Umformungen entsprechen solchen Operationen, die die Waage nicht aus dem Gleichgewicht bringen. Das Bild zeigt am Beispiel der Gleichung

3x + 1 = x + 7,

wie durch Äquivalenzumformungen die Gleichung in eine Form gebracht wird, in der schließlich x (die Unbekannte) auf einer Seite isoliert dasteht, wodurch die Lösung direkt ablesbar ist.

Erlaubte und eingeschränkt erlaubte Umformungen

Erlaubte Äquivalenzumformungen sind:

• Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten

  („+ 2“ oder „+7·x“ oder „$+2\cdot(x^2-y^2)$“ …).

• Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten

  („- 2“ oder „-7·x“ oder „$-(x+y)\cdot(x-y)$“ …).

• Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten

  („·2“ oder „·7“ …).

  Anmerkung: Eine Multiplikation mit null ist nicht umkehrbar und damit keine Äquivalenzumformung. Dabei ist zu beachten, dass bei Multiplikation mit einem Ausdruck, der eine Variable enthält, dieser Ausdruck null sein kann. Ein solcher Fall muss getrennt behandelt werden.

• Division durch denselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten

  („÷2“ oder „÷7“ …).

  Anmerkung: Eine Division durch null ist nicht möglich. Wie bei der Multiplikation ist zu beachten, dass bei Division durch einen Ausdruck, der eine Variable enthält, dieser Ausdruck null sein kann. Ein solcher Fall muss getrennt behandelt werden.

• Vertauschen beider Seiten.

Eingeschränkt möglich sind darüber hinaus:

• Potenzieren beider Seiten mit demselben positiven ganzzahligen Exponenten (z. B. Quadrieren).

  Das ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Exponent ungerade ist. Bei anderen Exponenten - wie beim Quadrieren - erhält man sogenannte Scheinlösungen, die durch eine Probe ausgeschlossen werden müssen.

  Zum Beispiel ist die Gleichung x = − 1 nicht äquivalent zur Gleichung x² = ( − 1)², denn die letztere Gleichung hat auch x = 1 als Lösung.

• Potenzieren beider Seiten mit demselben nicht-ganzzahligen Exponenten, z. B. Bilden der Quadratwurzel beider Seiten.

  Das gibt nur dann reelle Lösungen, wenn die Seiten der Gleichung positiv sind. Auch das ist für gerade Wurzelexponenten keine Äquivalenzumformung, denn es gehen Lösungen verloren, wenn man nicht sowohl positive als auch negative Wurzeln in zwei getrennten Gleichungen berücksichtigt.

  Zum Beispiel ist die Gleichung x² = a mit einem Ausdruck a äquivalent zum System ($x = \sqrt{a}$ oder $x = -\sqrt{a}$).

• Potenzieren beider Seiten mit demselben negativen Exponenten, z. B. Bilden des Kehrwerts beider Seiten.

  Das geht nur, wenn die Seiten der Gleichung nicht den Wert null haben. Bei Verwendung anderer Exponenten als -1 treten dieselben Hindernisse wie bei positiven Exponenten auf.

Polynomgleichungen

Gleichungen vom Grad 1

Lineare Gleichungen werden gemäß obigen Grundregeln so lange behandelt, bis auf der linken Seite die Unbekannte steht und rechts eine Zahl bzw. ein entsprechender Ausdruck. Lineare Gleichungen der Normalform

ax + b = 0 mit $a \neq 0$

haben stets genau eine Lösung. Sie lautet $x = - \frac{b}{a}$.

Eine Gleichung kann aber auch unlösbar sein. So gibt es keine Zahl, die die Gleichung x = x + 1 löst, weil es keine Zahl gibt, die gleich groß wie ihr Nachfolger ist. Formal entstünde durch beidseitige Subtraktion von x die falsche Aussage 0 = 1.

Verhältnisgleichungen wie etwa $\frac{1}{x} = \frac{2}{5}$ lassen sich durch Kehrwertbildung in eine lineare Gleichung überführen.

Gleichungen vom Grad 2

Das Lösen von quadratischen Gleichungen ist ausführlich unter Quadratische Ergänzung beschrieben. Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet

ax² + bx + c = 0 mit $a \neq 0$

deren Lösungen man mit der abc-Formel (große Lösungsformel) berechnen kann:

$x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ mit Diskriminante D = b² − 4ac.

Wenn man die Gleichung durch a dividiert, erhält man die normierte Form

x² + px + q = 0 mit $p = \frac{b}{a}$ und $q = \frac{c}{a}$,

deren Lösungen man mit der pq-Formel (kleine Lösungsformel) berechnen kann:

$x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{D}$ mit Diskriminante $D = \frac{p^2}{4} - q$.

Beide quadratische Lösungsformeln sind in der Schulmathematik auch als sogenannte Mitternachtsformel bekannt.

Eine quadratische Gleichung hat im Bereich der reellen Zahlen entweder zwei Lösungen (Diskriminante D > 0), eine Lösung (Diskriminante D = 0) – man sagt auch: zwei zusammenfallende Lösungen bzw. eine doppelte Lösung – oder gar keine Lösung (Diskriminante D < 0).

In der Menge der komplexen Zahlen hat eine solche Gleichung stets zwei Lösungen (Fundamentalsatz der Algebra), die allerdings auch zusammenfallen können. Bei negativer Diskriminante liefert der Term $\sqrt{-D}/2a$ dann den Imaginärteil. Sind alle Koeffizienten reell, so sind die beiden Lösungen zueinander konjugiert komplex, wobei auch hier zwei zusammenfallende reelle Lösungen möglich sind.

Gleichungen vom Grad 3

Kubische Gleichungen in der allgemeinen Form

ax³ + bx² + cx + d = 0 mit $a \neq 0$

haben drei Lösungen, von denen mindestens eine reell ist. Die beiden weiteren Lösungen sind beide reell oder beide komplex.

Auch für das Lösen von kubischen Gleichungen gibt es mit der Cardanischen Formel eine allgemeine Lösungsformel.

Gleichungen vom Grad 4

Quartische Gleichungen in der Normalform

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 mit $a \neq 0$

haben vier Lösungen, die (für reelle Koeffizienten) stets paarweise reell oder konjugiert komplex sind.

Auch für quartische Gleichungen lässt sich noch eine Lösungsformel (siehe dort) angeben. Häufig wird in älteren Fachbüchern (aus der Zeit des Rechenschiebers) darauf hingewiesen, dass die Lösungsformeln recht kompliziert seien und sich im Alltag eine numerische Lösung empfehle. Das kann nach gegenwärtigem Stand der Computertechnik aber als überholt gelten. Tatsächlich leiden die Formeln zur geschlossenen Lösung einer Gleichung vierten Grades nur unter (beherrschbaren) Rundungsfehlerproblemen, bieten dafür aber konstante Rechenzeiten.

Iterationen haben dagegen die üblichen (nicht behebbaren) Probleme bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Nullstellen, der Zeitbedarf ist schwer vorherzusehen, und die Programmierung der Abbruchbedingung ist auch nicht trivial.

Gleichungen höheren Grades

Eine allgemeine Lösungsformel, die nur mit den vier Grundrechenarten und dem Wurzelziehen auskommt, für Gleichungen höheren Grades (n > 4) gibt es nicht (ein Resultat der Galoistheorie), lediglich spezielle Gleichungen lassen sich auf diese Weise lösen, z. B.:

• Polynome n-ten Grades mit symmetrischen Koeffizienten lassen sich auf Polynome vom Grad $\frac{n}{2}$ zurückführen. Bei ungeradem n ist 1 oder -1 eine Nullstelle, die zunächst durch Polynomdivision entfernt wird.
• Polynome, in der nur ungerade oder nur gerade Potenzen der Variablen auftreten, lassen sich ebenfalls auf Polynome vom Grad $\frac{n}{2}$ zurückführen, bei ungeraden Potenzen ist 0 eine Lösung.
• Allgemein alle Polynome, deren Galoisgrupppe auflösbar ist.

Gleichungen fünften Grades lassen sich mit Hilfe elliptischer Funktionen allgemein lösen. Als erster hat das Charles Hermite^[1] 1858 mit jacobischen Thetafunktionen gezeigt.

Gleichungen höheren Grades (Grad 5, …) werden in der Regel nur numerisch gelöst, außer eine Lösung lässt sich erraten. Hat man eine Lösung gefunden, kann der Grad der Gleichung durch Polynomdivision um 1 verringert werden.

Gleichungen vom Grad n haben n Lösungen. Dabei ist jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit zu zählen (Fundamentalsatz der Algebra).

Aus dem Fundamentalsatz der Algebra ergeben sich für Polynomgleichungen, sofern sie ausschließlich reelle Koeffizienten besitzen, folgende Regeln:

• … bei geradem Grad gibt es eine gerade Anzahl reeller Lösungen

(z. B. hat eine Gleichung 6. Grades entweder 0, 2, 4 oder 6 reelle Lösungen).

• … bei ungeradem Grad gibt es eine ungerade Anzahl reeller Lösungen

(z. B. hat eine Gleichung 7. Grades entweder 1, 3, 5 oder 7 reelle Lösungen).

• … die Anzahl komplexer Lösungen ist immer gerade, da diese nur paarweise auftreten können

(als konjugiert komplexe Zahlen, z. B. 3 + 4i und 3 − 4i).

Insbesondere folgt daraus:

• … jede Gleichung ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Lösung

(z. B. lineare und kubische Gleichungen)

• … eine Gleichung geraden Grades hat möglicherweise keine reelle Lösung

(z. B. hat die quadratische Gleichung x² = − 1 nur die komplexen Lösungen + i und − i).

Wenn man auch numerische Lösungsverfahren in Betracht zieht, dann bietet sich für diesen allgemeinen Fall u. a. das Bairstow-Verfahren an, welches alle – auch die komplexen – Nullstellen eines Polynoms findet.

Geschichte

Da viele mathematische Probleme auf Gleichungen führen, war das Lösen von Gleichungen von je her ein wichtiges Gebiet in der Mathematik.

Die Lösung linearer und quadratischer Gleichungen war schon in der Antike bekannt. So lernt auch heute noch jeder Schüler die quadratische Lösungsformel zur Bestimmung der Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung.

Die Verallgemeinerung dieser Lösungsformel, nämlich eine Erweiterung auf kubische Gleichungen, erfolgte im Italien der Renaissance. Drei Mathematiker sind dabei besonders hervorzuheben: Scipione del Ferro, Nicolo Tartaglia und Girolamo Cardano.

Der Franziskanermönch Luca Pacioli hatte 1494 noch behauptet, dass Gleichungen der Form ax³ + cx = d bzw. ax³ + d = cx rechnerisch nicht aufgelöst werden können. (Da man zu dieser Zeit nur ungenügend mit negativen Zahlen rechnen konnte, mussten diese beiden Fälle unterschieden werden.) Scipione del Ferro hat den ersten Fall und vielleicht auch den zweiten Fall gelöst. Sein Schüler Antonio Maria Fior hatte Kenntnis von der ferronischen Lösungsformel.

Im Jahr 1535 kam es zwischen Fior, dem Schüler del Ferros, und dem Rechenmeister Nicolo Tartaglia zu einem Wettbewerb. Fior legte diesem 30 kubische Gleichungen vor, die dieser scheinbar mühelos löste. Daraufhin wurde Tartaglia gebeten, seine Lösungsmethode bekanntzugeben. Nach langem Zögern verriet er sie dem Arzt und Mathematiker Cardano unter der Verpflichtung, sie geheim zu halten. Cardano brach seinen Eid und veröffentlichte sie – allerdings unter Nennung aller Quellen – 1545 in seiner Ars magna sive de regulis algebraicis (Große Kunst oder über die Rechenregeln). Außerdem hatte er über del Ferros Schwiegersohn genaue Kenntnis von dessen Lösungsformel erhalten. Danach kam es zu schweren Anschuldigungen und Plagiatsvorwürfen. Trotzdem heißen die Formeln für die Lösung kubischer Gleichungen heute cardanische Lösungsformeln.

In Cardanos Werk Ars magna war außerdem schon eine Formel für die Lösung von Gleichungen vierten Grades angegeben, die auf Cardanos Schüler Lodovico Ferrari zurückging, sowie ein Näherungsverfahren (Regula aurea) für die Lösungen.

Die Frage nach einer allgemeinen Lösungsformel für Gleichung fünften und höheren Grades wurde erst im 19. Jahrhundert von Niels Henrik Abel und Évariste Galois endgültig negativ beantwortet.

Bruchgleichungen

Wenn eine Gleichung einen oder mehrere Bruchterme enthält und die Unbekannte zumindest im Nenner eines Bruchterms vorkommt, handelt es sich um eine Bruchgleichung. Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner kann man solche Bruchgleichungen auf einfachere Gleichungstypen zurückführen.

Beispiel

$\begin{align} \frac {2}{3x} & = 6 \quad | \cdot 3x\\ 2 & = 18x \quad | \cdot \frac {1}{18} \\ \frac 19 & = x \end{align}$

Wurzelgleichungen

Tritt die Variable x unter einer Wurzel auf, spricht man von einer Wurzelgleichung. Solche Gleichungen löst man, indem man eine Wurzel isoliert (allein auf eine Seite bringt) und dann mit dem Wurzelexponenten potenziert. Das wiederholt man, bis alle Wurzeln eliminiert sind. Die entstehende Gleichung löst man wie oben. Schließlich muss man noch beachten, dass durch das Potenzieren möglicherweise Scheinlösungen hinzugekommen sind, die nicht Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind, weil Potenzieren keine Äquivalenzumformung darstellt. Deshalb ist hier eine Probe unverzichtbar.

Beispiel

$\begin{align}\sqrt{4x} & = 16 \quad \\ 2\sqrt x & = 16 \quad | \cdot \frac 12 \\ \sqrt x & = 8 \quad | \text{hoch} \quad 2 \\ x & = 64 \end{align}$

Näherungsverfahren

Numerisches Lösen

Es gibt viele Gleichungen, die man aufgrund ihrer Komplexität nicht algebraisch lösen kann. Für diese wurden in der Numerik zahlreiche Näherungsverfahren entwickelt. Man kann beispielsweise jede Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine Null steht, und dann ein Verfahren zum Bestimmen von Nullstellen anwenden. Ein einfaches numerisches Verfahren zur Lösung reeller Gleichungen ist beispielsweise die Intervallschachtelung. Ein Spezialfall davon ist die Regula Falsi.

Ein weiteres Verfahren, das sehr oft zur Anwendung kommt, ist das newtonsche Näherungsverfahren. Jedoch konvergiert dieses Verfahren meist nur dann, wenn die zu untersuchende Funktion im Bereich um die Nullstelle konvex ist. Dafür konvergiert dieses Verfahren „recht schnell“, was durch den Satz von Kantorowitsch gesichert wird.

Weitere Verfahren zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen finden sich auf der Liste numerischer Verfahren.

Grafische Verfahren

Grafische Verfahren können im Rahmen der Zeichengenauigkeit (0,2 mm) Anhaltspunkte über Anzahl und Lage der Lösungen geben.

Liegt die Gleichung in ihrer Normalform vor, lässt sich die linke Seite als Funktion auffassen, deren Graph nach einer Wertetabelle mit hinreichender Genauigkeit zu zeichnen ist. Die Nullstellen (d. h. Schnittpunkte mit der x-Achse) sind dann die Lösungen.

Andernfalls sind die Funktionen, die der rechten und der linken Seite der Gleichung entsprechen, zusammen in ein Achsenkreuz zu zeichnen. Die x-Werte der Schnittpunkte geben die Lösung an. Quadratische Gleichungen werden so umgeformt, dass der quadratische Term nur links vom Gleichheitszeichen und mit dem Vorfaktor 1 zu stehen kommt. Dann kann man mittels Schablone die Einheitsparabel zeichnen und mit der aus der rechten Seite hervorgehenden Geraden zum Schnitt bringen. Das ist rechts exemplarisch für die Gleichung x² = 0,5x + 0,5 gezeigt, deren Lösungen -0,5 und +1 sind.

Kontrolle der Lösung

Durch die Punktprobe kann kontrolliert werden, ob eine berechnete Lösung richtig ist. Mit der Punktprobe lässt sich jedoch nicht erkennen, ob alle Lösungen gefunden wurden.

Irreversible Umformungen

Es ist möglich, Gleichungen mathematisch korrekt so umzuformen, dass nach der Umformung nicht mehr eindeutig auf die Ausgangsgleichung geschlossen werden kann. Solche Umformungen nennt man irreversibel.

Multiplikation mit 0

Multipliziert man eine beliebige Gleichung mit 0, so ist diese Multiplikation irreversibel.

$\begin{align} 5x+3 & = 8 \quad | \cdot 0 \\ 0 & = 0 \end{align}$

Von der Gleichung 0 = 0 lässt sich nicht mehr auf die Gleichung 5x + 3 = 8 schließen.

Quadrieren

Quadriert man eine Gleichung, lässt sich auch durch das Ziehen der Wurzel nicht auf die vorige Gleichung schließen.

$\begin{align}4x & = 8 \\ 16x^2 & = 64 \end{align}$

Die obere Gleichung hat nur die Lösung x = 2, während die untere Gleichung eine weitere Lösung, nämlich x = − 2 besitzt.

Beachten beim Lösen von Gleichungen

Aus diesem Grund ist es wichtig, bei Gleichungen, in denen man die Wurzel zieht, den Teil, der vorher quadratisch war, in Betragstriche zu setzen, sodass auch wirklich zwei mögliche Lösungen betrachtet werden können.

$\begin{align}(x-3)^2 & = 16 \\ \Leftrightarrow |x-3| & = 4 \end{align}$

Lösungen sind dann x = 7 und x = − 1.

Siehe auch

• Gleichung, Bestimmungsgleichung
• Lösen von Ungleichungen

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Gleichungen: Umformungen – Lern- und Lehrmaterialien

• Lösen von quadratischen Gleichungen, Gleichungen höheren Grades – mit Beispielen und Übungsaufgaben (pdf) (226 kB)

Einzelnachweise

1. ↑ Hermite, C. Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado. Annali di math. pura ed appl. 1, 256-259, 1858.