Variable (Mathematik)

Eine Variable bezeichnet in der Mathematik einen Platzhalter für eine Rechengröße, beispielsweise eine Zahl. Der Name leitet sich vom lateinischen Adjektiv variabilis (veränderbar) ab; für freie und für abhängige Variable ist im Deutschen auch das Wort Veränderliche gebräuchlich.

In der heutigen Mathematik wird eine Variable fast ausnahmslos als Element einer bestimmten Menge aufgefasst. So eignen sich ganzzahlige bzw. nicht-negative ganzzahlige Variable zum Zählen, wo hingegen reelle oder komplexe Variable zur Beschreibung mathematischer bzw. physikalischer Größen meist geeigneter sind. Man spricht (bei freien Variablen) von der Definitionsmenge oder (bei abhängigen Variablen) von der Wertemenge.

Entstehungsgeschichte

Das Konzept einer Variablen gehört zunächst dem mathematischen Teilgebiet der Algebra (siehe auch Elementare Algebra) an. Das grundlegende Konzept einer Variablen, nämlich eine Größe zu sein, deren Wert noch nicht festgelegt ist, ist fundamental für das Aufstellen von Gleichungen, die in linearer wie quadratischer Gestalt bereits bei Aryabhata auftauchen.

Der Begriff einer Veränderlichen ist darüber hinaus grundlegend für die Infinitesimalrechnung, die aber erst im 17. Jahrhundert sowohl von Isaac Newton als auch von Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt wurde.

Arten von Variablen

Nach der Art der Verwendung einer Variablen lassen sich unterscheiden:

Freie / unabhängige Variable

Man spricht gewöhnlich von einer freien Variablen, falls ihr Wert innerhalb einer Definitionsmenge frei gewählt werden kann. So kommt etwa für den Durchmesser d eines gedachten Kreises (oder für dessen Maßzahl zu einer Längen-Maßeinheit) jeder positive, reelle Wert in Betracht.

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird die unabhängige Variable üblicherweise als Abszisse auf der waagerechten Koordinatenachse aufgetragen.

Abhängige Variable

Sehr häufig ist der Wert einer Variablen abhängig von den Werten anderer Variabler. Der Umfang U eines Kreises mit Durchmesser d ist durch die Beziehung

$U = \pi\cdot d$

gegeben. Sobald der Durchmesser (freie Variable d) bekannt ist, ist der Umfang eindeutig festgelegt (abhängige Variable U). Natürlich ist diese Betrachtungsweise willkürlich: Man kann genauso gut den Umfang U als freie Variable vorgeben, muss dann aber den Kreisdurchmesser gemäß

$d = \frac U\pi$

als abhängige Variable ansehen.

Die Abhängigkeit lässt sich in einem Liniendiagramm veranschaulichen. Im rechtwinkligen Koordinatensystem wird die abhängige Variable üblicherweise als Ordinate auf der senkrechten Achse aufgetragen.

Parameter

→ Hauptartikel: Parameter (Mathematik)

Eine Formvariable oder auch Parameter ist eine an sich freie Variable, die man aber zumindest in dieser Situation eher als eine Konstante denn als eine Veränderliche auffassen möchte. So ist etwa der Bremsweg s eines Fahrzeugs vor allem von dessen Geschwindigkeit v abhängig:

$s = f \cdot v^2$

Dabei ist f eine sog. Proportionalitätskonstante – ein Parameter, dessen Wert bei genauerer Betrachtung von weiteren Parametern wie der Griffigkeit des Straßenbelags und der Profiltiefe der Reifen abhängig ist. Dennoch gilt für jeden festen Wert von f, dass eine Erhöhung der freien Variablen v um beispielsweise 10 % eine Verlängerung des Bremswegs um 21 % zufolge hat.^[1]

In einem Liniendiagramm mit einer Kurvenschar unterscheidet ein Parameter üblicherweise die einzelnen Kurvenexemplare voneinander.

Konstanten

Sehr häufig werden konkrete unveränderliche Zahlen, festliegende Größen oder auch durch Messabweichungen unsichere bzw. unrichtige Messwerte mit einem Formelzeichen versehen, das nun statt der numerischen Angabe verwendet werden kann. Beispiele sind die Kreiszahl π = 3,1415... oder die Elementarladung e = 1,602...·10⁻¹⁹ As. Das Formelzeichen steht für den wahren Wert. Die numerische Behandlung wird je nach Anzahl der verwendeten Stellen oder mit einem verbesserten Messwert variieren.

Elementare Anwendungen in Beispielen

Lineare Bestimmungsgleichungen

→ Hauptartikel: Bestimmungsgleichung

Bernhard ist doppelt so alt wie Anna; zusammen sind sie 24 Jahre alt. Wenn a das Alter von Anna beschreibt, so ist Bernhard 2a Jahre alt. Zusammen sind sie 3a = 24 Jahre alt. Diese Gleichung in der Unbekannten a, einer zunächst freien Variablen, ermöglicht den unbekannten Wert von a zu bestimmen (daher der Name Bestimmungsgleichung): Wenn von a das Dreifache 24 beträgt, so muss a ein Drittel von 24 sein. Also sind Anna acht und Bernhard 16 Jahre alt.

Terme mit Variablen als Beweisprinzip

Betrachtet man etwa die Folge der Quadratzahlen (0, 1, 4, 9, 16, …), so fällt auf, dass die jeweiligen Abstände zwischen zwei benachbarten Quadraten genau die Folge der ungeraden Zahlen (1, 3, 5, 7, …) ergibt. Für eine endliche Zahl von Folgengliedern lässt sich das einfach nachrechnen; auf diesem Weg erhält man aber keinen Beweis. Unter Zuhilfenahme von Variablen gelingt dieser aber sehr einfach.

Die n-te Quadratzahl lautet n²; die nächste daran anschließende (n + 1)²; ihre Differenz ist also

(n + 1)² − n² = (n² + 2n + 1) − n² = 2n + 1,

das ist genau das allgemeine Glied 2n + 1 der Folge der ungeraden Zahlen. Dabei wurde lediglich die erste Binomische Formel

(a + b)² = a² + 2ab + b²

verwendet.

Siehe auch

 Wiktionary: Variable – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

1. ↑ $\ v$ um 10 % erhöht ergibt $1,1\cdot v$. Der verlängerte Bremsweg beträgt also $f\cdot(1,1\cdot v)^2 = 1,21\cdot f\cdot v^2$, was einer Verlängerung um 21 % entspricht.