Meissel-Mertens-Konstante

Die Meissel-Mertens-Konstante (nach Ernst Meissel (1826–1895) und Franz Mertens) ist eine mathematische Konstante. Ähnlich wie die Summe der reziproken natürlichen Zahlen $\sum_{k=1}^n\frac1{k}$ (harmonischen Reihe) wächst auch die Summe der reziproken Primzahlen $\sum_{p\in \mathbb{P}}^n \frac{1}{p}$ unbeschränkt (hierbei beschreibt $\mathbb P$ die Menge aller Primzahlen). D.h. beide Summen werden für zunehmende Gliederzahl n beliebig groß. Das genaue asymptotische Wachstum wird durch die beiden Grenzwerte beschrieben:

$\gamma = \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^n\frac1{k} - \ln n\right),\qquad M := \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{p\in \mathbb{P}}^n \frac{1}{p} - \ln(\ln n) \right)$

Hierbei ist γ die Eulersche Konstante und M die Meissel-Mertens-Konstante. Die Summe aller reziproken Primzahlen zwischen 2 und n wächst also asymptotisch so wie der verschachtelte Logarithmus $\ln(\ln n)\$. Sie tritt hauptsächlich in der Zahlentheorie und Funktionentheorie auf. Es bestehen zahlreiche Zusammenhänge mit anderen mathematischen Konstanten und Reihen. Beispielsweise:

$M = \gamma + \sum_{p\in\mathbb P} \left[ \ln \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right]$

$M = \gamma + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k} \ln\bigg(\zeta(k)\bigg)$

Hierbei ist μ(n) die Möbiusfunktion und ζ(n) die Riemannsche Zetafunktion. Der numerische Wert der Meissel-Mertens-Konstante ist

M = 0,26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585 90515 66648 26119 ... (Folge A077761 in OEIS)

Literatur

• Franz Mertens: Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 78, 1874, S. 46–62 (GDZ)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Mertens Constant. In: MathWorld. (englisch)
• Folge A096167 in OEIS (Engel-Entwicklung von M)