Satz von Mertens

Satz von Mertens

Der Satz von Mertens (nach Franz Mertens) ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Analysis, der eine Aussage über die Konvergenz eines Cauchy-Produkts zweier Reihen liefert.

Inhaltsverzeichnis

Formulierung

Sind \textstyle A=\sum_{k=0}^\infty a_k und \textstyle B=\sum_{k=0}^\infty b_k konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert, so konvergiert das Cauchy-Produkt \textstyle \sum_{k=0}^\infty c_k, wobei \textstyle c_k=\sum_{j=0}^k a_j b_{k-j} ist, gegen AB.

Beweis

Ohne Einschränkung sei A die absolut konvergente Reihe. Zu zeigen ist nun, dass die Partialsumme \textstyle S_n=\sum_{k=0}^n c_k gegen AB konvergiert.

Im folgenden sei \textstyle A_n:=\sum_{k=0}^n a_k und \textstyle B_n=\sum_{k=0}^n b_k.

Cauchyprodukt
  1. AB lässt sich schreiben als \textstyle (A-A_n)B+\sum_{k=0}^n a_k B
  2. Sn lässt sich schreiben als \textstyle \sum_{k=0}^n a_k B_{n-k}

Die Differenzbildung 1.- 2. ergibt

AB-S_n=(A-A_n)B+\sum_{k=0}^n a_k (B-B_{n-k})

Dabei konvergiert (AAn)B gegen Null und mit N:=\left\lfloor \tfrac{n}{2} \right\rfloor lässt sich letzte Reihe aufspalten zu

\underbrace{\sum_{k=0}^N a_k (B-B_{n-k})}_{=P_n}+\underbrace{\sum_{k=N+1}^n a_k (B-B_{n-k})}_{=Q_n}\,.

Es gilt

|P_n|\le \sum_{k=0}^N |a_k|\cdot |B-B_{n-k}|\le \max_{N\le k\le n} |B-B_k|\, \sum_{k=0}^N |a_k|\to 0\,,

denn letzter Ausdruck ist ein Produkt von einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge. Da die Nullfolge (BBk) beschränkt sein muss, gibt es ein C > 0 mit |B-B_k|<C \quad \forall k\in\N. Daher ist

|Q_n|\le \sum_{k=N+1}^n |a_k|\cdot |B-B_{n-k}|\le C \sum_{k=N+1}^n |a_k|\to 0

nach dem Cauchy-Kriterium. Also gilt AB-S_n\to 0, woraus unmittelbar S_n\to AB folgt.

Sonstiges

Die Voraussetzung der absoluten Konvergenz wenigstens einer der beiden Ausgangsreihen ist notwendig. Ein Gegenbeispiel bei Weglassen dieser Bedingung sind Reihen A,B mit a_k = b_k = \tfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}, deren Cauchy-Produkt nicht konvergiert.[1]

Zahlentheoretischer Satz von Mertens

Als Mertens Satz wird in der Zahlentheorie auch die folgende Aussage bezeichnet:

  \sum_{p\le x} \frac{1}{p} = \log\log(x) + c + o(1)

dabei ist c \approx  0.26149721\dots die Meissel-Mertens-Konstante.

Einzelnachweise

  1. Konrad Königsberger: Analysis 1 - 5. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41282-4; S. 74 (Ende von Abschnitt 6.3)

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