Satz von Mertens

Der Satz von Mertens (nach Franz Mertens) ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Analysis, der eine Aussage über die Konvergenz eines Cauchy-Produkts zweier Reihen liefert.

Formulierung

Sind $\textstyle A=\sum_{k=0}^\infty a_k$ und $\textstyle B=\sum_{k=0}^\infty b_k$ konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert, so konvergiert das Cauchy-Produkt $\textstyle \sum_{k=0}^\infty c_k$, wobei $\textstyle c_k=\sum_{j=0}^k a_j b_{k-j}$ ist, gegen AB.

Beweis

Ohne Einschränkung sei A die absolut konvergente Reihe. Zu zeigen ist nun, dass die Partialsumme $\textstyle S_n=\sum_{k=0}^n c_k$ gegen AB konvergiert.

Im folgenden sei $\textstyle A_n:=\sum_{k=0}^n a_k$ und $\textstyle B_n=\sum_{k=0}^n b_k$.

Cauchyprodukt

1. AB lässt sich schreiben als $\textstyle (A-A_n)B+\sum_{k=0}^n a_k B$
2. S_n lässt sich schreiben als $\textstyle \sum_{k=0}^n a_k B_{n-k}$

Die Differenzbildung 1.- 2. ergibt

$AB-S_n=(A-A_n)B+\sum_{k=0}^n a_k (B-B_{n-k})$

Dabei konvergiert (A − A_n)B gegen Null und mit $N:=\left\lfloor \tfrac{n}{2} \right\rfloor$ lässt sich letzte Reihe aufspalten zu

$\underbrace{\sum_{k=0}^N a_k (B-B_{n-k})}_{=P_n}+\underbrace{\sum_{k=N+1}^n a_k (B-B_{n-k})}_{=Q_n}\,.$

Es gilt

$|P_n|\le \sum_{k=0}^N |a_k|\cdot |B-B_{n-k}|\le \max_{N\le k\le n} |B-B_k|\, \sum_{k=0}^N |a_k|\to 0\,,$

denn letzter Ausdruck ist ein Produkt von einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge. Da die Nullfolge (B − B_k) beschränkt sein muss, gibt es ein C > 0 mit $|B-B_k|<C \quad \forall k\in\N$. Daher ist

$|Q_n|\le \sum_{k=N+1}^n |a_k|\cdot |B-B_{n-k}|\le C \sum_{k=N+1}^n |a_k|\to 0$

nach dem Cauchy-Kriterium. Also gilt $AB-S_n\to 0$, woraus unmittelbar $S_n\to AB$ folgt.

Sonstiges

Die Voraussetzung der absoluten Konvergenz wenigstens einer der beiden Ausgangsreihen ist notwendig. Ein Gegenbeispiel bei Weglassen dieser Bedingung sind Reihen A,B mit $a_k = b_k = \tfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$, deren Cauchy-Produkt nicht konvergiert.^[1]

Zahlentheoretischer Satz von Mertens

Als Mertens Satz wird in der Zahlentheorie auch die folgende Aussage bezeichnet:

$\sum_{p\le x} \frac{1}{p} = \log\log(x) + c + o(1)$

dabei ist $c \approx 0.26149721\dots$ die Meissel-Mertens-Konstante.

Einzelnachweise

1. ↑ Konrad Königsberger: Analysis 1 - 5. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41282-4; S. 74 (Ende von Abschnitt 6.3)