Milstein-Verfahren

Das Milstein-Verfahren der stochastischen Analysis bezeichnet eine Methode für die numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen (SDGL), benannt nach dem russischen Mathematiker Grigori Noichowitsch Milstein (Staatliche Gorki-Universität des Uralgebiets).

Algorithmus

Betrachte die Itō-SDGL

$\mathrm{d} X_{t} = a(X_{t}) \, \mathrm{d} t + b(X_{t}) \, \mathrm{d} W_{t},$

mit Anfangsbedingung X₀ = x₀, wobei W_t den Wiener-Prozess bezeichnet. Soll eine Lösung auf dem Intervall [0,T] gefunden werden, so erhält man durch das Milstein-Verfahren eine Approximation Y für die wahre Lösung X auf einem äquidistanten Gitter:

• Zerlege das Interval [0,T] in N gleich lange Teilintervalle der Länge δ > 0:

$0 = \tau_{0} < \tau_{1} < \dots < \tau_{N} = T$ und $\delta = \tfrac{T}{N}$.

• Setze Y₀: = x₀.

• Definiere Y_{n + 1} für $0 \leq n < N$ durch

$Y_{n + 1} := Y_{n} + a(Y_{n}) \delta + b(Y_{n}) \Delta W_{n} + \frac{1}{2} b(Y_{n}) b'(Y_{n}) \left( (\Delta W_{n})^{2} - \delta \right),$

wobei

$\Delta W_{n} = W_{\tau_{n + 1}} - W_{\tau_{n}}$

und b' die Ableitung von b(x) bezüglich x ist. Beachte, dass die Zufallsvariablen ΔW_n unabhängig normal verteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianz δ.

Konvergenz

Mit den obigen Bezeichnungen gilt $E[|Y_n-X(\tau_n)|] = \hbox{o}(\delta)\;$ für $\delta \to 0$ und alle n = 0,...,N, weshalb man von Konvergenz erster Ordnung spricht. o ist dabei ein Landau-Symbol.

Siehe auch

Euler-Maruyama-Verfahren

Referenzen

• Peter E. Kloeden, Eckhard Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-54062-8