Minimalphasensystem

Ein Minimalphasensystem bezeichnet in der Systemtheorie ein lineares zeitinvariantes System, dessen Systemfunktion nur Nullstellen im stabilen Bereich der komplexen Bildebene aufweist oder allgemein (auch für nicht lineare Systeme) dessen Nulldynamik stabil ist. Der Begriff des minimalphasigen Systems gilt sowohl für zeitkontinuierliche als auch zeitdiskrete Systeme. Sie besitzen des Weiteren die Eigenschaft, für einen gegebenen Amplitudenverlauf die kleinstmögliche Gruppenlaufzeit zu besitzen.

Zeitkontinuierliche Systeme

Für zeitkontinuierliche Systeme, deren Übertragungsfunktion als Laplace-Transformierte der Impulsantwort bestimmt wird, ist der instabile Bereich der Bildebene die rechte Halbebene mit positivem Realteil. Ein zeitkontinuierliches minimalphasiges System hat nur Pole und Nullstellen im linken Bereich der komplexen Halbebene. Anders ausgedrückt ist ein System mit rationaler Übertragungsfunktion G(s):

$G(s) = \frac{Z(s)}{N(s)}$

genau dann minimalphasig, wenn es stabil ist und nur Nullstellen links der imaginären Achse hat:

$\operatorname{Re}(s_z) \le 0$

Zeitdiskrete Systeme

Für zeitdiskrete Systeme, deren Übertragungsfunktion als z-Transformierte der Impulsantwort bestimmt wird, ist der instabile Bereich der Bildebene derjenige außerhalb des Einheitskreises. Ein zeitdiskretes minimalphasiges System hat Nullstellen nur innerhalb des Einheitskreises.

Bedeutung

Minimalphasige Systeme sind beispielsweise im Bereich der Regelungstechnik bedeutsam. Oft sind Systeme nicht minimalphasig, können aber in einen minimalphasigen Anteil und einen Allpass zerlegt werden, was zur besseren Betrachtung des Systems bzw. zu einfacheren Entwicklung eines Reglers führen kann.

Literatur

• Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck: Zeitdiskrete Signalverarbeitung, Pearson, ISBN 3-8273-7077-9, Kapitel 5.6