Übertragungsfunktion

Eine Übertragungsfunktion beschreibt die Abhängigkeit des Ausgangssignals eines linearen, zeitinvarianten Systems (LZI-System) von dessen Eingangssignal.

Ein lineares Übertragungsglied mit dem Eingangssignal u und Ausgangssignal y.

Kennzeichnend für eine Übertragungsfunktion ist, dass sie das Übertragungssystem im Rahmen der vorausgesetzten Eigenschaften vollständig charakterisiert. Eine Übertragungsfunktion ermöglicht es somit, das Ausgangssignal des Übertragungssystems aus dem Eingangssignal und der Übertragungsfunktion zu berechnen.

Ein einfaches Beispiel für eine Übertragungsfunktion lässt sich angeben, wenn das Übertragungssystem G das Eingangssignal u(t) um einen Faktor k verstärkt, so dass gilt:

$y(t) = k \cdot u(t)\,$

Die Übertragungsfunktion G ist in diesem Fall eine konstante Funktion, für die gilt:

$G = \frac{y(t)}{u(t)} = k\,$

Die verschiedenen Übertragungsfunktionen unterscheiden sich im Wesentlichen in der Art des Übertragungssystems (analog oder digital) und im zulässigen Wertebereich für die Signale.

Im Rahmen der zugrundeliegenden Theorie werden die Ein- und Ausgangssignale des Übertragungssystems nicht wie im einleitenden Beispiel als Funktionen der Zeit, sondern im Bildbereich einer Integral- oder Summentransformation angegeben. Das führt dazu, dass die Übertragungssysteme nicht durch Differentialgleichungen (Analogsignale) und Differenzengleichungen (Digitalsignale), sondern durch einfachere algebraische Gleichungen beschrieben werden können. Dadurch vereinfacht sich die mathematische Beschreibung der Systeme in der Praxis deutlich.

Übertragungssysteme für Analogsignale

Mögliche Integraltransformationen für analoge Signale sind

• die kontinuierliche Fouriertransformation und
• die einseitige Laplacetransformation.

Beide Transformationen ähneln einander sehr stark. Sie haben jedoch im Detail unterschiedliche Eigenschaften.

• Gegenstand der Fouriertransformation sind nichtperiodische Signale aus dem Funktionenraum der quadratintegrablen Signale, die in technischen Disziplinen mit dem Begriff Energiesignal bezeichnet werden. Hiermit bezeichnet man Signale, deren Betragsquadrat eine endliche Fläche aufweist. Die Fouriertransformation transformiert sowohl kausale, als auch nichtkausale Signale. Kausale Signale können nur für Zeiten t > 0 einen von Null verschiedenen Wert annehmen. Eine im Bildbereich der Fouriertransformation beschriebenes Übertragungssystem kann daher sowohl kausal, als auch nichtkausal sein. Nichtkausale Systeme reagieren auf die Änderung des Eingangssignals, noch bevor diese Änderungen tatsächlich stattgefunden haben. Obwohl in der Natur nur kausale Übertragungssysteme vorkommen, sind nichtkausale Systeme wie beispielsweise der ideale Tiefpass wichtige Elemente der Übertragungstheorie. Technisch lassen sich nichtkausale Systeme nur näherungsweise durch zeitverzögerte Ausgabe realisieren.

Die Übertragungsfunktion^[1] im Bildbereich der kontinuierlichen Fouriertransformation wird beschrieben im

→ Hauptartikel: Frequenzgang

• Gegenstand der einseitigen Laplacetransformation sind nichtperiodische kausale Signale. Aufgrund des um ein Dämpfungs- bzw. Verstärkungsglied erweiterten Transformationskern besitzt die Laplacetransformation einen stark erweiterten Bereich möglicher Signale, so dass ein im Vergleich zur Fouriertransformation erweitertes Spektrum an möglichen Signalen und Übertragungssystemen beschrieben werden kann. Wesentliche Einschränkungen sind die erforderliche Konvergenz der Transformation und die Beschränkung auf kausale Signale. Die Beschränkung auf kausale Signale kann durch Anwendung der zweiseitigen Laplacetransformation umgangen werden.

Die Übertragungsfunktion im Bildbereich der einseitigen Laplacetransformation wird beschrieben im

→ Hauptartikel: Übertragungsfunktion (Laplacetransformation)

Übertragungssysteme für Digitalsignale

Ebenso wie für Analogsignale lassen sich auch für Digitalsignale Übertragungsfunktionen definieren. Sie beschreiben Systeme, die im Zeitbereich durch lineare Differenzengleichungen beschrieben werden müssten.

Mögliche Transformationen für digitale Signale sind

• die zeitdiskrete Fouriertransformation
• die einseitige und zweiseitige Z-Transformation.

Die zeitdiskrete Fouriertransformation und die z-Transformation sind das diskrete Analogon für die kontinuierliche Fouriertransformation und die Laplacetransformation. Derzeit (Juni 2010) existieren in der Wikipedia keine Hauptartikel für die Übertragungsfunktion im Bereich der digitalen Übertragungssysteme. Auch für die Übertragung zeitdiskreter Funktionen ist jedoch der Begriff der Übertragungsfunktion in der Literatur geläufig.^[2]

Einzelnachweise

1. ↑ Thomas Frey, Martin Bossert: Signal- und Systemtheorie. Teubner, 2004, ISBN 3-519-06193-7 (Der Auszug zeigt, dass der Begriff Übertragungsfunktion für Signale benutzt wird, die im Bildbereich der Fouriertransformation angegeben werden; Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
2. ↑ Anton Braun: Grundlagen der Regelungstechnik: Kontinuierliche und diskrete Systeme. Fachbuchverlag Leipzig, 2005, ISBN 3-446-40305-1 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

Siehe auch

• Kopfbezogene Übertragungsfunktion
• Greensche Funktion