Dedekindsche Eta-Funktion
- Dedekindsche Eta-Funktion
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Die Dedekindsche η-Funktion in der komplexen Ebene
Die nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind benannte η-Funktion ist eine auf der oberen Halbebene holomorphe Funktion.
Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und der Thetafunktionen.
Definition
Die η-Funktion wird üblicherweise folgendermaßen als unendliches Produkt definiert:
- .
Aus der Definition folgt unmittelbar, dass η in keine Nullstellen hat.
Die η-Funktion ist eng verwandt mit der Diskriminante Δ, es ist
- .
Zur Berechnung der η-Funktion kann der Pentagonalzahlensatz verwendet werden.
Transformationsverhalten
Ihre Bedeutung erhält die η-Funktion aus ihrem Transformationsverhalten unter den Substitutionen der Erzeugenden der Modulgruppe
- ,
es gilt nämlich:
und
- .
Literatur
- Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York (1990), ISBN 3-540-97127-0
- Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer-Verlag, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
- Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49324-2
Weblinks
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