Dedekindsche η-Funktion

Die Dedekindsche η-Funktion in der komplexen Ebene

Die nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind benannte η-Funktion ist eine auf der oberen Halbebene $\mathbb H=\{\tau\in\mathbb C\mid\mathrm{Im}\,\tau>0\}$ holomorphe Funktion.

Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und der Thetafunktionen.

Definition

Die η-Funktion wird üblicherweise folgendermaßen als unendliches Produkt definiert:

$\eta(\tau):= e^{\pi i\tau/12}\prod_{n=1}^\infty (1-e^{2\pi in\tau})$.

Aus der Definition folgt unmittelbar, dass η in $\mathbb{H}$ keine Nullstellen hat.

Die η-Funktion ist eng verwandt mit der Diskriminante Δ, es ist

$\Delta (\tau) \,=\, (2\pi)^{12} \eta^{24}(\tau)$.

Zur Berechnung der η-Funktion kann der Pentagonalzahlensatz verwendet werden.

Transformationsverhalten

Ihre Bedeutung erhält die η-Funktion aus ihrem Transformationsverhalten unter den Substitutionen der Erzeugenden der Modulgruppe

$\Gamma :=\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})=\{\bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\bigr)\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}, ad-bc=1\}$,

es gilt nämlich:

$\eta(\tau +1)\,=\, e^{\pi i/12}\eta(\tau)$

und

$\eta\left(\frac{-1}{\tau}\right) = \sqrt{\frac{\tau}{i}}\,\eta(\tau)$.

Literatur

• Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York (1990), ISBN 3-540-97127-0
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer-Verlag, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
• Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49324-2

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dedekind Eta Function. In: MathWorld. (englisch)