Moore-Smith-Folge

Moore-Smith-Folge

Ein Netz oder eine Moore-Smith-Folge stellt in der Topologie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Verallgemeinerung einer Folge dar. Der Begriff geht auf Eliakim Hastings Moore und H. L. Smith zurück. Mit Cauchynetzen lässt sich der Begriff der Vollständigkeit von Metrischen Räumen auf uniforme Räume verallgemeinern. Darüber hinaus kann man sie in der Integralrechnung zur Beschreibung der Riemann-Integrierbarkeit verwenden.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Für eine gerichtete Menge (I,\triangleleft) und eine Menge X ist ein Netz eine Abbildung x: I \to X. Meist schreibt man analog zu Folgen (x_i)_{i\in I}. Da die natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Anordnung eine gerichtete Menge bilden, sind Folgen spezielle Netze.

Teilnetz

(I,\triangleleft_I) und (J,\triangleleft_J) seien gerichtete Mengen, (x_i)_{i\in I} ein Netz in X und \varphi\colon J \to I eine Abbildung, die der folgenden Bedingung genügt:

\forall i_o\in I \ \exists j_0 \in J \colon \ \forall j \triangleright_J j_0 \ \varphi(j) \triangleright_I i_0

(Eine solche Abbildung φ heißt kofinal). Dann nennt man das Netz (x_{\varphi(j)})_{j\in J} ein Teilnetz des Netzes (x_i)_{i\in I}.

Konvergentes Netz

Ist X ein topologischer Raum, so definiert man wie bei Folgen: Ein Netz heißt konvergent gegen x \in X, wenn gilt:

\forall U\in \mathcal{U}(x)\ \exists i_0 \in I\ \forall i \in I: i_0 \triangleleft i \Rightarrow x_i \in U

Man schreibt dann (x_i)_{i\in I} \to x oder x_i \to x. Die formale Definition lässt sich so umschreiben: Für jede Umgebung von x gibt es einen Anfangsindex i0 in der gerichteten Menge I, so dass Glieder des Netzes mit Index i nach i_0\; (i\triangleright i_0) in der vorgelegten Umgebung enthalten sind.

Cauchynetz

Ist (X,Φ) ein uniformer Raum, so definiert man: Ein Netz auf X heißt Cauchynetz, wenn zu jeder Nachbarschaft N\in \Phi ein Index i_0 \in I existiert, so dass alle Paare von Gliedern des Netzes mit späteren Indizes j,k\triangleright i_0 von der Ordnung N benachbart sind, d. h. dass (x_j,x_k)\in N gilt. Die formalisierte Definition lautet

 \forall N\in\Phi\; \exist i_0\in I\; \forall j,k\triangleright i_0 :\; (x_j, x_k) \in N

Vollständigkeit

Ein uniformer Raum X ist genau dann vollständig, wenn jedes Cauchynetz auf X konvergent ist.

Anwendungen

Definition der abgeschlossenen Hülle

Ist A eine Teilmenge des topologischen Raumes X, dann ist y\in X genau dann ein Berührpunkt von A (d. h. in der abgeschlossenen Hülle von A enthalten), wenn es ein Netz (x_i)_{i\in I} mit Gliedern x_i \in A gibt, das gegen y konvergiert.

Lokale Definition der Stetigkeit
  • Seien X und Y topologische Räume. Eine Abbildung  f: X \to Y ist stetig im Punkt x\in X genau dann, wenn für jedes Netz (x_i)_{i\in I} in X gilt: Aus x_i\to x folgt f(x_i)\to f(x).
Riemann-Integral

Die Menge \mathcal Z der Zerlegungen Z:=(x_0,x_1,x_2,\ldots, x_n) des reellen Intervalls [a,b], a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b, wird durch die Inklusion zu einer gerichteten Menge: Z_1\triangleleft Z_2 : Z2 enthält alle Punkte von Z1. Für eine reellwertige beschränkte Funktion auf [a,b] werden durch die Obersumme

 \mathbf{O}(f) : \mathcal{Z} \to \Bbb{R}; (x_0,x_1,x_2,\ldots, x_n) \mapsto \sum_{j=1}^n (x_j-x_{j-1})\cdot\sup_{x\in [x_{j-1},x_j]} f(x)

und die Untersumme

 \mathbf{U}(f) : \mathcal{Z} \to \Bbb{R}; (x_0,x_1,x_2,\ldots, x_n) \mapsto \sum_{j=1}^n (x_j-x_{j-1})\cdot\inf_{x\in [x_{j-1},x_j]} f(x)

zwei Netze definiert. Die Funktion f ist genau dann Riemann-integrierbar auf [a,b], wenn beide Netze gegen die gleiche reelle Zahl c konvergieren. In dem Fall ist c=\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x.

Literatur

  • Boto v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909
  • E. H. Moore, H. L. Smith (1922): A General Theory of Limits. American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121
  • Lydia Außenhofer: Mengentheoretische Topologie.

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Divergente Folge — Eine Folge kann in der Mathematik die Eigenschaft haben, sich mit wachsendem Index immer mehr einer bestimmten Zahl anzunähern. Diese Zahl nennt man Grenzwert oder Limes der Folge. Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so wird sie konvergent …   Deutsch Wikipedia

  • Grenzwert (Folge) — Eine Folge kann in der Mathematik die Eigenschaft haben, sich mit wachsendem Index immer mehr einer bestimmten Zahl anzunähern. Diese Zahl nennt man Grenzwert oder Limes der Folge. Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so wird sie konvergent …   Deutsch Wikipedia

  • Konvergente Folge — Eine Folge kann in der Mathematik die Eigenschaft haben, sich mit wachsendem Index immer mehr einer bestimmten Zahl anzunähern. Diese Zahl nennt man Grenzwert oder Limes der Folge. Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so wird sie konvergent …   Deutsch Wikipedia

  • Michael Moore — bei den 66. Filmfestspielen von Venedig 2009 Michael Francis Moore [ˈmaɪkəl mɔr] (* 23. April 1954 in Davison, einem Vorort von Flint, Michigan …   Deutsch Wikipedia

  • Mr. Smith geht nach Washington — Filmdaten Deutscher Titel Mr. Smith geht nach Washington Originaltitel Mr. Smith Goes to Washington …   Deutsch Wikipedia

  • Herr Smith geht nach Washington — Filmdaten Deutscher Titel: Mr. Smith geht nach Washington Originaltitel: Mr. Smith Goes to Washington Produktionsland: USA Erscheinungsjahr: 1939 Länge: 129 Minuten Originalsprache: Englisch …   Deutsch Wikipedia

  • Mr. Smith Goes To Washington — Filmdaten Deutscher Titel: Mr. Smith geht nach Washington Originaltitel: Mr. Smith Goes to Washington Produktionsland: USA Erscheinungsjahr: 1939 Länge: 129 Minuten Originalsprache: Englisch …   Deutsch Wikipedia

  • Mr. Smith Goes to Washington — Filmdaten Deutscher Titel: Mr. Smith geht nach Washington Originaltitel: Mr. Smith Goes to Washington Produktionsland: USA Erscheinungsjahr: 1939 Länge: 129 Minuten Originalsprache: Englisch …   Deutsch Wikipedia

  • William Ephraim Smith — (* 14. März 1829 in Augusta, Georgia; † 11. März 1890 in Albany, Georgia) war ein US amerikanischer Politiker. Zwischen 1875 und 1881 vertrat er den Bundesstaa …   Deutsch Wikipedia

  • Cauchy-Netz — Ein Netz oder eine Moore Smith Folge stellt in der Topologie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Verallgemeinerung einer Folge dar. Der Begriff geht auf Eliakim Hastings Moore und H. L. Smith zurück. Mit Cauchynetzen lässt sich der Begriff der …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”