Cauchy-Netz

Ein Netz oder eine Moore-Smith-Folge stellt in der Topologie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Verallgemeinerung einer Folge dar. Der Begriff geht auf Eliakim Hastings Moore und H. L. Smith zurück. Mit Cauchynetzen lässt sich der Begriff der Vollständigkeit von Metrischen Räumen auf uniforme Räume verallgemeinern. Darüber hinaus kann man sie in der Integralrechnung zur Beschreibung der Riemann-Integrierbarkeit verwenden.

Definitionen

Für eine gerichtete Menge $(I,\triangleleft)$ und eine Menge X ist ein Netz eine Abbildung $x: I \to X$. Meist schreibt man analog zu Folgen $(x_i)_{i\in I}$. Da die natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Anordnung eine gerichtete Menge bilden, sind Folgen spezielle Netze.

Teilnetz

$(I,\triangleleft_I)$ und $(J,\triangleleft_J)$ seien gerichtete Mengen, $(x_i)_{i\in I}$ ein Netz in X und $\varphi\colon J \to I$ eine Abbildung, die der folgenden Bedingung genügt:

$\forall i_o\in I \ \exists j_0 \in J \colon \ \forall j \triangleright_J j_0 \ \varphi(j) \triangleright_I i_0$

(Eine solche Abbildung φ heißt kofinal). Dann nennt man das Netz $(x_{\varphi(j)})_{j\in J}$ ein Teilnetz des Netzes $(x_i)_{i\in I}$.

Konvergentes Netz

Ist X ein topologischer Raum, so definiert man wie bei Folgen: Ein Netz heißt konvergent gegen $x \in X$, wenn gilt:

$\forall U\in \mathcal{U}(x)\ \exists i_0 \in I\ \forall i \in I: i_0 \triangleleft i \Rightarrow x_i \in U$

Man schreibt dann $(x_i)_{i\in I} \to x$ oder $x_i \to x$. Die formale Definition lässt sich so umschreiben: Für jede Umgebung von x gibt es einen Anfangsindex i₀ in der gerichteten Menge I, so dass Glieder des Netzes mit Index i nach $i_0\; (i\triangleright i_0)$ in der vorgelegten Umgebung enthalten sind.

Cauchynetz

Ist (X,Φ) ein uniformer Raum, so definiert man: Ein Netz auf X heißt Cauchynetz, wenn zu jeder Nachbarschaft $N\in \Phi$ ein Index $i_0 \in I$ existiert, so dass alle Paare von Gliedern des Netzes mit späteren Indizes $j,k\triangleright i_0$ von der Ordnung N benachbart sind, d. h. dass $(x_j,x_k)\in N$ gilt. Die formalisierte Definition lautet

$\forall N\in\Phi\; \exist i_0\in I\; \forall j,k\triangleright i_0 :\; (x_j, x_k) \in N$

Vollständigkeit

Ein uniformer Raum X ist genau dann vollständig, wenn jedes Cauchynetz auf X konvergent ist.

Anwendungen

Definition der abgeschlossenen Hülle

Ist A eine Teilmenge des topologischen Raumes X, dann ist $y\in X$ genau dann ein Berührpunkt von A (d. h. in der abgeschlossenen Hülle von A enthalten), wenn es ein Netz $(x_i)_{i\in I}$ mit Gliedern $x_i \in A$ gibt, das gegen y konvergiert.

Lokale Definition der Stetigkeit

• Seien X und Y topologische Räume. Eine Abbildung $f: X \to Y$ ist stetig im Punkt $x\in X$ genau dann, wenn für jedes Netz $(x_i)_{i\in I}$ in X gilt: Aus $x_i\to x$ folgt $f(x_i)\to f(x)$.

Riemann-Integral

Die Menge $\mathcal Z$ der Zerlegungen $Z:=(x_0,x_1,x_2,\ldots, x_n)$ des reellen Intervalls [a,b], $a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$, wird durch die Inklusion zu einer gerichteten Menge: $Z_1\triangleleft Z_2$ : Z₂ enthält alle Punkte von Z₁. Für eine reellwertige beschränkte Funktion auf [a,b] werden durch die Obersumme

$\mathbf{O}(f) : \mathcal{Z} \to \Bbb{R}; (x_0,x_1,x_2,\ldots, x_n) \mapsto \sum_{j=1}^n (x_j-x_{j-1})\cdot\sup_{x\in [x_{j-1},x_j]} f(x)$

und die Untersumme

$\mathbf{U}(f) : \mathcal{Z} \to \Bbb{R}; (x_0,x_1,x_2,\ldots, x_n) \mapsto \sum_{j=1}^n (x_j-x_{j-1})\cdot\inf_{x\in [x_{j-1},x_j]} f(x)$

zwei Netze definiert. Die Funktion f ist genau dann Riemann-integrierbar auf [a,b], wenn beide Netze gegen die gleiche reelle Zahl c konvergieren. In dem Fall ist $c=\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x$.

Literatur

• Boto v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909

• E. H. Moore, H. L. Smith (1922): A General Theory of Limits. American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121
• Lydia Außenhofer: Mengentheoretische Topologie.