Mostowski-Kollaps

Mostowski-Kollaps

Der Mostowski-Kollaps (auch: Mostowski'scher Isomorphiesatz) ist ein Satz aus der Mengenlehre, der zuerst 1949 von dem polnischen Mathematiker Andrzej Mostowski formuliert wurde. Er ist vor allem bei der Konstruktion von Modellen ein wichtiges Hilfsmittel.

Definition

"Kollaps" der ungeraden auf die natürlichen Zahlen

Sei E eine zweistellige wohlfundierte Relation auf einer Klasse C. Über wohlfundierte Rekursion definiere für x\in C den "transitiven Kollaps" durch: \pi(x)=\{\pi (z)\mid  zEx\}.

Für die Abbildung \pi :C\rightarrow \pi(C) gilt dann:

Ist E zusätzlich extensional, das heißt, wenn \{z \mid zEx\}\not=\{z \mid  zEy\} für alle x\not= y\in C, so gilt darüber hinaus:

π stellt also einen Isomorphismus zwischen den Strukturen \langle C,E\rangle und \langle \pi(C),\in\rangle dar, und π(C) ist die einzige transitive Menge, die (mit der Relation \in) zu \langle C,E\rangle isomorph ist.

Beispiele

  • Sei C = {1,3,5,...} die Menge der ungeraden Zahlen, und E = < die übliche Ordnung. Dann ist E wohlfundiert und extensional. Es gilt: π(C) = ω und π(2n + 1) = n. Jede ungerade Zahl wird also auf die kleinste "noch freie" natürliche Zahl abgebildet. Daher auch der Name "Kollaps".
  • Ist < eine Wohlordnung auf C, dann ist π(C) der Ordnungstyp von (C, < ), also die eindeutig bestimmte Ordinalzahl, die zu (C, < ) ordnungsisomorph ist. Der Mostowski-Kollaps kann also als Verallgemeinerung der Ordinalzahldefinition angesehen werden.
  • Sei P eine Partielle Ordnung, und G\subset P ein Filter. Definiere die (wohlfundierte) Relation \in_G durch: x\in_G y\Leftrightarrow\exists p\in G\;(x,p)\in y. Ist M ein abzählbares transitives Modell von ZFC und ist G zusätzlich M-generisch, so definiert der Kollaps von \langle M,\in_G\rangle das Modell \langle M[G],\in\rangle, welches eine fundamentale Rolle in der Forcing-Methode spielt.

Literatur

  • Mostowski, Andrzey: An undecidable arithmetical statement, Fundamenta Mathematicae 36 (1949).
  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.

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