Nullmenge

Als Nullmenge (oder auch μ-Nullmenge) bezeichnet man in der Mathematik eine Teilmenge A eines Maßraums (Ω,Σ,μ) (genauer: A ist ein Element der zugehörigen σ-Algebra Σ), die das Maß null hat. Sie ist nicht mit der leeren Menge zu verwechseln; tatsächlich kann eine Nullmenge sogar unendlich viele Elemente enthalten. Manche Autoren nehmen in der Definition von Nullmenge auch vernachlässigbare Mengen hinzu, d.h. solche, die Teilmenge einer Nullmenge, aber nicht notwendigerweise Element der σ-Algebra sind und denen deswegen selbst eventuell kein Maß zugeordnet ist. Wird allen Mengen, die sich nur um eine solche vernachlässigbare Menge von einem Element der σ-Algebra unterscheiden, ebenfalls ein Maß zugeordnet, spricht man von der Vervollständigung des Maßes, wie sie etwa in der Definition des Lebesgue-Maß verwendet wird.

Von einer Eigenschaft, die für alle Elemente des Maßraums außerhalb einer μ-Nullmenge gilt, sagt man, dass sie μ-fast überall gilt. Ist μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so sagt man auch μ-fast sicher anstelle von μ-fast überall.

Beispiele

• Die leere Menge $\emptyset$ bildet in jedem Maßraum eine Nullmenge.

Für das Lebesgue-Maß auf $\R$ bzw. $\R^n$ gilt:

• Jede abzählbare Teilmenge des $\R^n$ ist eine Nullmenge. Insbesondere ist die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ in der Menge der reellen Zahlen $\R$ eine Nullmenge.
• Jeder echte Untervektorraum, insbesondere jede Hyperebene, des $\R^n$ ist eine Nullmenge. Dasselbe gilt für affine Unterräume und Untermannigfaltigkeiten, deren Dimension kleiner als n ist.
• Die Cantor-Menge ist eine überabzählbare Nullmenge in der Menge der reellen Zahlen.

Verallgemeinerung

Man kann Nullmengen auch allgemeiner für Elemente eines Halbringes $\mathcal H$ definieren. Eine Menge A aus $\mathcal H$ heißt Nullmenge, wenn für den Inhalt μ gilt μ(A) = 0. Diese Verallgemeinerung beinhaltet die obige Definition, da jede σ-Algebra auch ein Halbring ist und jedes Maß auch ein Inhalt ist.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4. Auflage, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2.
• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage, De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Gebunden), ISBN 3-11-013625-2 (Broschiert).