Kommutativer Ringe

Ring

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie Zahlentheorie

ist Spezialfall von

additive Abelsche Gruppe multiplikative Halbgruppe Halbring Fastring Modul

umfasst als Spezialfälle

kommutativer Ring (Axiom K) unitärer Ring (N) Schiefkörper (NI) Körper (KNI) nullteilerfreier Ring (0) Integritätsbereich (0K) ganze Zahlen Z euklidischer Ring Hauptidealring [?] Polynomringe Restklassenringe

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$, Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind.

Die Namensgebung Ring bezieht sich nicht auf etwas anschaulich Ringförmiges, sondern auf einen Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Diese Wortbedeutung ist in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen. Einige ältere Vereinsbezeichnungen (wie z. B. Deutscher Ring, Weißer Ring) oder Ausdrücke wie „Verbrecherring“ weisen noch auf diese Bedeutung hin. Das Konzept des Ringes geht auf Richard Dedekind zurück; die Bezeichnung Ring wurde allerdings von David Hilbert eingeführt.^[1][2]

Definitionen

Ring

Eine Menge R mit zwei inneren binären Verknüpfungen „+“ und „·“ auf R ist ein Ring, wenn

• (R, + ) eine abelsche Gruppe ist, mit 0 als neutralem Element,
• die Multiplikation „·“ assoziativ ist,
• und die folgenden Distributivgesetze gelten:

$a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$   und   $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ für alle $a,b,c\in R$.

Unter-/Oberring

Eine nichtleere Untermenge U eines Ringes R heißt Unterring von R, wenn U zusammen mit den beiden auf U eingeschränkten Verknüpfungen von R wieder ein Ring ist.

Ein Ring S heißt Oberring oder Erweiterung eines Ringes R, wenn R ein Unterring von S ist.

Einselement

Besitzt ein Ring ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation, so nennt man dieses die Eins oder das Einselement des Ringes. Dieses Element wird meist mit 1 bezeichnet und hat die Eigenschaft

$1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ für alle $a \in R.$

Ein Ring mit Einselement wird auch unitärer Ring genannt.

Abschwächung der Axiome

Wenn ein Ring eine Eins besitzt, dann muss nicht gefordert werden, dass die Addition kommutativ ist. Diese Eigenschaft folgt dann aus den restlichen Ringaxiomen. Für alle $a,b\in R$ gilt:

$a+a+b+b=1\cdot a+1\cdot a+1\cdot b+1\cdot b=(1+1)\cdot a+(1+1)\cdot b=(1+1)\cdot (a+b)=$

$1\cdot (a+b)+1\cdot (a+b)=a+b+a+b$

Addiert man diese Gleichung von links mit ( − a) und von rechts mit ( − b), so erhält man:

a + b = b + a

Insgesamt wurden mit Ausnahme des Assoziativgesetzes der Multiplikation alle Axiome eines unitären Rings benutzt. Die Argumentation ist also auch für nicht-assoziative unitäre Ringe gültig.

Invertierbarkeit, Einheit

Existiert in einem Ring mit Eins zu einem Element x ein Element y, so dass yx = 1 (bzw. xy = 1) gilt, so nennt man y ein Linksinverses (bzw. Rechtsinverses) von x. Besitzt x sowohl Links- als auch Rechtsinverses, so nennt man x invertierbar oder Einheit des Ringes. Die Menge der Einheiten eines Ringes R mit Eins wird gewöhnlich mit R * bezeichnet. R * bildet bezüglich der Ringmultiplikation eine Gruppe – die Einheitengruppe des Ringes.

In kommutativen Ringen mit Eins (insbesondere Integritätsringen) definiert man alternativ die Einheiten auch als diejenigen Elemente, die die Eins teilen. Dass x die Eins teilt, heißt nämlich dass es y gibt mit yx = xy = 1. Man sieht, dass die Eigenschaft, Teiler von Eins zu sein, und die Eigenschaft, invertierbar zu sein, hier dasselbe bedeuten. Diese Alternativdefinition funktioniert aber erst in kommutativen Ringen, da erst dort die Teilbarkeit erklärt wird.

Ideal

→ Hauptartikel: Ideal (Ringtheorie)

Zu einem Ring R heißt eine Teilmenge $\mathfrak{a}$ von R Linksideal (bzw. Rechtsideal), wenn gilt:

• $\mathfrak{a}$ ist eine Untergruppe von (R, + ).
• Für alle $a\in\mathfrak{a}$ und $x \in R$ ist ebenfalls $x \cdot a \in \mathfrak{a}$ (bzw. $a \cdot x \in \mathfrak{a}).$

Ist $\mathfrak{a}$ sowohl Links- als auch Rechtsideal, so heißt $\mathfrak{a}$ Ideal.

Jedes (Links- bzw. Rechts-)Ideal $\mathfrak{a}$ ist ein Normalteiler in (R, + ), da (R, + ) eine kommutative Gruppe ist und damit jede Untergruppe normal. Ideale sind außerdem besondere Unterringe von R, die in Ringen die Rolle der Normalteiler in Gruppen übernehmen. Enthält in einem Ring mit Eins ein (Links-, Rechts-)Ideal die Eins, so umfasst es ganz R. Da R auch Ideal ist, ist R das einzige (Links-, Rechts-)Ideal, das die Eins enthält. R und {0} sind die sogenannten trivialen Ideale.

Ringhomomorphismus

Für zwei Ringe R und S heißt eine Abbildung

$\varphi\colon R \to S$

Ringhomomorphismus (kurz Homomorphismus), falls für alle $x, y \in R$ gilt:

$\operatorname\varphi(x+y)=\operatorname\varphi(x)+\operatorname\varphi(y)$ und

$\operatorname\varphi(x\cdot y)=\operatorname\varphi(x)\cdot\operatorname\varphi(y).$

(Die Verknüpfungen auf der linken Seite sind natürlich jene in R, die auf der rechten jene in S.) Anders ausgedrückt, ist ein Ringhomomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Ringen, die sowohl Gruppenhomomorphismus bezüglich der additiven Gruppen der beiden Ringe, als auch Halbgruppenhomomorphismus bezüglich der multiplikativen Halbgruppen der beiden Ringe ist.

Für einen „Homomorphismus von Ringen mit Eins“ muss zusätzlich $\varphi(1_R)=1_S$ gefordert werden. Beispielsweise ist die Nullabbildung von $\mathbb Z$ nach $\mathbb Z$ zwar ein Ringhomomorphismus, aber kein Homomorphismus von Ringen mit Eins, da die besondere Struktur der Eins durch die Abbildung verloren geht: Die Eins wird (wie alle anderen Elemente) zur Null.

Für den Ringhomomorphismus sind die beiden Mengen

$\operatorname{Kern}\ \operatorname\varphi=\lbrace x\in R\mid\operatorname\varphi(x)=0\rbrace$ und

$\operatorname{Bild}\ \operatorname\varphi=\operatorname\varphi(R)=\lbrace \operatorname\varphi(x)\in S\mid x\in R\rbrace$

definiert; aus dem Englischen und Lateinischen schreibt man auch statt Kern ker und statt Bild img, im oder schlicht I (großes i). $\operatorname{Kern}\ \operatorname\varphi$ und $\operatorname{Bild}\ \operatorname\varphi$ sind Unterringe von R bzw. S, $\operatorname{Kern}\ \operatorname\varphi$ sogar ein Ideal, $\operatorname{Bild}\ \operatorname\varphi$ ist nur dann ein Ideal, wenn $\operatorname\varphi$ surjektiv (also ein Ringepimorphismus) ist. Ein Ringhomomorphismus ist genau dann injektiv (also ein Ringmonomorphismus), wenn $\operatorname{Kern}\ \operatorname\varphi=\lbrace 0\rbrace$ gilt.

Mathematische Attribute für Ringe

unitär bzw. Ring mit Eins

Ein unitärer Ring oder Ring mit Eins ist ein Ring mit Einselement. In einigen Definitionen wird das Einselement für jeden Ring gefordert.

kommutativ

Bei einem kommutativen Ring ist auch die Multiplikation kommutativ. Mit kommutativen Ringen mit Eins beschäftigt sich die kommutative Algebra.

nullteilerfrei

In einem nullteilerfreien Ring ist ein Produkt genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist. Deshalb ist in nullteilerfreien Ringen das Kürzen von Gleichungen möglich. Das heißt, dass für $a \ne 0$ die Implikation

$a \cdot b = a \cdot c \quad \Rightarrow \quad b = c$

gilt.

Beispiele

Das wichtigste Beispiel eines Ringes ist die Menge $(\Z,+,\cdot)$ der ganzen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation. Es handelt sich dabei um einen nullteilerfreien kommutativen Ring mit Einselement, also einen Integritätsring.

Ebenso bildet $(\Bbb Q,+,\cdot)$ der rationalen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Ring. Da in diesem Fall nicht nur $(\Bbb Q,+)$, sondern auch $(\Bbb Q\setminus \{0\},\cdot)$ eine abelsche Gruppe bildet, liegt sogar ein Körper vor; es handelt sich dabei um den Quotientenkörper des Integritätsringes $(\Z,+,\cdot)$.

Kein Ring ist die Menge $(\N,+,\cdot)$ der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation, da die Addition über den natürlichen Zahlen nicht invertierbar ist.

Weitere wichtige Beispiele von Ringen sind Restklassenringe, Polynomringe und quadratische Matrizen mit fixer Dimension. Insbesondere Restklassenringe und quadratische Matrizen liefern Beispiele von Ringen, die nicht nullteilerfrei sind. Quadratische Matrizen sind darüber hinaus ein Beispiel eines Rings, bei dem die Multiplikation nicht kommutativ ist.

Ein Beispiel eines Rings ohne Eins sind die geraden ganzen Zahlen, ebenso bilden alle ganzen Zahlen, die Vielfache einer gegebenen ganzen Zahl größer eins sind, einen Ring ohne Eins. Allgemein ist jedes echte Ideal eines Rings ein Ring ohne Eins.

Eigenschaften

• Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt sich aus den Gruppenaxiomen der Addition.
• Jeder Ring R ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Ring). Die Ideale im Ring R sind gerade die Untermoduln dieses Moduls R.
• Alle multiplikativ invertierbaren Elemente bilden die Einheitengruppe.

Spezialfälle

Boolescher Ring

Ein Boolescher Ring ist ein Ring mit Einselement, der zusätzlich das Idempotenzgesetz $a\cdot a=a$ erfüllt.

Lokaler Ring

Ein lokaler Ring ist ein Ring, in dem es genau ein maximales Linksideal (oder Rechtsideal) gibt. Nicht wenige Autoren verlangen, dass ein lokaler, kommutativer Ring zusätzlich noethersch sein muss und nennen einen nichtnoetherschen Ring mit genau einem maximalen Ideal einen quasi-lokalen Ring. In der Wikipedia lassen wir diese Zusatzforderung weg und sprechen ggf. explizit von noetherschen lokalen Ringen.

Integritätsring

Ein Integritätsring oder Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit einer Eins, die verschieden ist von der Null. Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper.

Faktorieller Ring, ZPE-Ring

Ein faktorieller Ring oder ZPE-Ring ist ein Integritätsring, in dem alle Elemente außer der Null eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren besitzen.

Hauptidealring

Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. Jeder Hauptidealring ist ein ZPE-Ring.

Euklidischer Ring

In einem euklidischen Ring gibt es eine Division mit Rest. Dadurch kann der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.

Schiefkörper

Ein Schiefkörper ist ein Ring mit Eins, der nicht der Nullring ist und in dem es zu allen $a\in R\setminus\{0\}$ ein multiplikatives Inverses gibt.

Körper

Ein Körper ist ein kommutativer Schiefkörper.

Verallgemeinerungen

Halbring

Bei einem Halbring ist (H, + ) keine abelsche Gruppe sondern nur eine Halbgruppe, die auch oft (je nach Definition) kommutativ und/oder ein Monoid (H, + ,0) sein soll, für den dann zusätzlich $a\cdot0=0\cdot a=0$ für alle $a\in R$ gelten muss (die Definitionen sind nicht einheitlich).

Fastring

Bei einem Fastring wird nur eines der beiden Distributivgesetze gefordert und die Addition muss nicht kommutativ sein.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-29880-9
• Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Ein Handbuch für Studium und Forschung. Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1
• Serge Lang: Algebra. Revised 3rd Edition, Springer-Verlag, 2002, ISBN 0-387-95385-X
• Hideyuki Matsumura: Commutative Ring Theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6
• David Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York 1996. ISBN 0-387-94269-6

Einzelnachweise

1. ↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R) (17. Juli 2007)
2. ↑ The development of Ring Theory (17. Juli 2007)