Papyrus Rhind

Fragment des Papyrus-Rhind, pBM 10057

Einige Zeilen im Manuskript, 48. Problem

Der Papyrus-Rhind ist eine altägyptische, auf Papyrus verfasste Abhandlung zu verschiedenen mathematischen Themen, die wir heute als Arithmetik, Algebra, Geometrie, Trigonometrie und Bruchrechnung bezeichnen. Er gilt neben dem etwas älteren, aber weniger umfangreichen Papyrus Moskau 4676 als eine der wichtigsten Quellen für unser Wissen über die Mathematik im Alten Ägypten.

Entdeckung

Der Papyrus ist benannt nach dem schottischen Anwalt und Antiquar Alexander Henry Rhind, der ihn 1858 in Luxor, Oberägypten erwarb. Die Schriftstücke wurden wohl wenig zuvor bei illegalen Grabungen auf dem gegenüber von Luxor westlich des Nils liegenden Gebiet Thebens in oder nahe dem Ramesseum gefunden, genauere Umstände sind nicht bekannt.

Details

Der Papyrus-Rhind wurde im 16. Jahrhundert v. Chr. während der Zweiten Zwischenzeit angefertigt – einleitend wird das 33. Regierungsjahr des Apopi, eines Königs der 15. Dynastie der Hyksos, als Datum angegeben – und wird in wesentlichen Teilen als die Kopie eines über zwei Jahrhunderte älteren Papyrus angesehen, welcher wahrscheinlich aus der Regierungszeit des Amenemhet III. der 12. Dynastie im Mittleren Reich stammte. Der Kopist, ein Schreiber namens Ahmose (nach einer früheren Transkription auch Ahmes), gebrauchte die hieratische Schrift und hob einige Werte und aufgeführte Verfahren mit roter anstelle von schwarzer Tinte hervor, beispielsweise Sätze von Teilern. Heute liegt der Papyrus-Rhind in Form von Fragmenten einer über 5  Meter langen und etwa 32 cm breiten Schriftrolle vor, die auf beiden Seiten beschrieben ist, und gibt verschiedene mathematische Probleme mit beispielhaften Lösungen wieder, insgesamt sind es je nach Zählweise 84 oder 87 Aufgaben. Der Text konnte erst am Ende des 19. Jahrhunderts n. Chr. entziffert und übersetzt werden, seine mathematischen Aussagen werden seit Anfang des 20. Jahrhunderts entschlüsselt und erschlossen.

Inhaltlich lässt sich das Manuskript in drei Abteilungen gliedern. Eine längere Tabelle, die für alle ungeraden Zahlen n von 3 bis 101 den Bruch 2/n als eine Summe von Stammbrüchen darstellt, findet sich im Ersten Teil, der 40 arithmetische und algebraische Probleme behandelt. Der Zweite Teil stellt 20 geometrische Probleme vor und behandelt Rauminhalte und Flächeninhalte unterschiedlicher Figuren sowie das Verhältnis von Höhe zu Seite des Körpers einer Pyramide als deren Neigung. Zwei Dutzend weitere Probleme bilden den Dritten Teil, unter anderem Berechnungen bezogen auf die Herstellung von Brot und Bier wie auch auf die Fütterung von Geflügel und Rindern.

Die näherungsweise Berechnung der Zahl Pi

Ein Kreis in einem Quadrat, das durch ein Gitter zerlegt wird.
Der Kreisdurchmesser ist so lang wie eine Seite des umfassenden Quadrates – beträgt er 9, hat ein kleines Quadrat die Seitenlänge 3.

In der 48. Aufgabenstellung beschreibt Ahmes, wie er die Fläche eines Kreises berechnet, der einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 9 Einheiten eingeschrieben ist. Er liefert damit eine Näherung der Kreiszahl π.

Dazu dreiteilt Ahmes zunächst die Seiten des Quadrats und gewinnt damit neun gleiche kleinere Quadrate mit der Seitenlänge von 3 Einheiten. Dann schneidet er von den vier Eckzellen jeweils die Hälfte weg und kommt darüber zu der Figur eines unregelmäßigen Achtecks. Dieses Achteck setzt sich aus fünf vollen und vier halben zu der Gesamtfläche von 7 der kleinen Quadrate mit je 3² = 9 Flächeneinheiten zusammen und besitzt so den Flächeninhalt von 7•9 = 63 Quadrateinheiten. Es ist offensichtlich nur etwas kleiner als der Kreis – für dessen Fläche nimmt Ahmes daher den Inhalt von 64 = 8•8 Quadrateinheiten an, was nicht kleiner ist.

Somit wird die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser 9 gleich der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge 8 gesetzt. Daraus ergibt sich näherungsweise für den Inhalt A_K der Kreisfläche mit dem Halbmesser r von 9/2

über $A_K = r^2 \cdot \pi$

also $(9/2)^2 \cdot \pi \approx 8^2$ und damit annähernd $\pi \approx \frac{8^2}{(9/2)^2} = (\frac{16}{9})^2 \approx 3{,}160494..$

Der so ermittelte Wert verfehlt die Zahl π absolut um etwa 0,01890 und relativ um weniger als ein Prozent. Im altägyptischen Zahlensystem wird dieser Wert nicht dezimal dargestellt, sondern als eine Summe von Stammbrüchen:

$(\frac{16}{9})^2 = \frac{256}{81} = 3 + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} \approx \pi$

Mit dem im Papyrus-Rhind wiedergegebenen Verfahren kann die Kreiszahl π also aus dem Verhältnis der Flächeninhalte eines eingeschriebenen Kreises und seines umschreibenden Quadrates errechnet werden,

da $A_Q = r^2 \cdot 4$ also denn $\frac{A_K}{A_Q} = \frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4}$ und somit $\pi=4\cdot \frac{A_K}{A_Q}\approx 4\cdot \frac{64}{81}$

Der einem Quadrat mit 81 Flächeneinheiten eingeschriebene Kreis umfängt tatsächlich etwa 63,617 Flächeneinheiten. In Approximation wird hier durch die von Ahmes aufgeschriebene Methode ein Kreis auf ein Quadrat von 9•9 bezogen, über eine achteckige Figur vermittelt und seine Fläche einem Quadrat von 8•8 gleichgesetzt – was wohl als früher Versuch einer Quadratur des Kreises angesehen werden kann.

Aufbewahrungsort

Der Papyrus-Rhind oder Rhind Mathematical Papyrus (RMP) befindet sich seit 1865 im Besitz des Britischen Museums in London unter den Inventarnummern pBM 10057 und pBM 10058, abgesehen von einigen kleineren Fragmenten, die damals nicht von Rhind erworben wurden und heute im Brooklyn Museum in New York aufbewahrt werden.

Siehe auch

• Papyrus Moskau 4676
• Papyri Lahun / Kahun
• Geschichte der Mathematik
• Mathematik im Alten Ägypten
• Liste der Papyri des Alten Ägypten

Literatur

• August Eisenlohr: Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum). J. C. Hinrichs, Leipzig 1877 online
• Don Allen: The Ahmes Papyrus and Summary of Egyptian Mathematics. April 2001
• Marshall Clagett: Ancient Egyptian Science: A Source Book. In: Memoirs of the American Philosophical Society 232, Vol. 3: Ancient Egyptian Mathematics. American Philosophical Society, Philadelphia 1999, ISBN 0-87169-232-5
• Annette Imhausen: Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten. Harrassowitz, Wiesbaden 2003, ISBN 3-447-04644-9
• Dominic Olivastro: Der Zugang zu allen dunklen Geheimnissen. In: Das chinesische Dreieck. Droemersche Verlagsanstalt Th. Knaur Nachf., München 1995, ISBN 3-426-26546-X. S.43-72
• Gay Robins und Charles Shute: The Rhind mathematical papyrus. An ancient Egyptian text. British Museum, London 1987, ISBN 0-7141-0944-4
• Rhind Papyrus. MathWorld–A Wolfram Web Resource. Abgerufen am 29. Januar 2011.
• Williams, Scott W. Mathematicians of the African Diaspora, enthält eine Seite von Egyptian Mathematics Papyri.
• Milo Gardner: An Ancient Egyptian Problem and its Innovative Arithmetic Solution. In: Ganita Bharati: Bulletin of the Indian Society for the History of Mathematics. Vol 28, 2006, MD Publications, New Delhi, S. 157–173
• Arnold Buffum Chace: The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations. In: Classics in Mathematics Education 8, 2 vols, Mathematical Association of America, Oberlin (Reprinted: National Council of Teachers of Mathematics, Reston:1979), ISBN 0-87353-133-7
• Thomas-Eric Peet: The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058. The University Press of Liverpool limited and Hodder & Stoughton, London 1923
• Mathematics and the Liberal Arts: The Rhind/Ahmes Papyrus. Truman State University, Math and Computer Science Division
• Franz von Krbek: Eingefangenes Unendlich. 2. Auflage, Geest & Portig, Leipzig 1952, S.79 ff.

Weblinks

 Commons: Papyrus Rhind – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• O'Connor and Robertson, 2000: Mathematics in Egyptian Papyri.
• Rhind Mathematical Papyrus RMP – Englischsprachiger Artikel mit Bild eines Papyrus-Fragments auf Site des Britischen Museums
• RMP 2/n Table der englischen Wikipedia
• Egyptian Fraction auf PlanetMath.org
• RMP 84 (87) Bird Feeding Rate Method auf PlanetMath.org
• Egyptian Mathematical Leather Roll EMLR auf PlanetMath.org
• Vogelsang: Entwicklung der Darstellung und Dokumentation von algebraischen Sachverhalten
• Altägyptische Mathematik auf egyptianmath.blogspot.com