Pol und Polare

Pol und Polare sind ein Begriffspaar in der ebenen Geometrie der Kegelschnitte: Jedem Punkt der Ebene wird eine Gerade umkehrbar eindeutig zugeordnet. Vermittelndes Element ist ein Kegelschnitt. Die Gerade heißt Polare des Punktes, der Punkt Pol der Geraden.

Außen liegender Pol

Pol außen

Zu einem Punkt P, der im Äußeren eines nicht entarteten Kegelschnitts (im Bild: eines Kreises) liegt, gibt es stets zwei Tangenten t₁ und t₂, die durch P gehen. Berühren diese den Kegelschnitt in den Punkten T₁ und T₂, so heißt die Gerade p = T₁T₂ „die Polare zu P (bezüglich des gegebenen Kegelschnitts)“.

Umgekehrt kann man sagen:

Schneidet eine Gerade p (die Polare) einen Kegelschnitt in zwei Punkten T₁ und T₂, so heißt der Schnittpunkt der beiden Tangenten in T₁ und T₂ der Pol zu p (bezüglich des Kegelschnittes).

Harmonische Teilung und endgültige Definition

Zeichnet man durch den Pol P eine Sekante, die den Kegelschnitt in A und B und die Polare in S schneidet, so teilen die Punkte S und P die Strecke [AB] harmonisch. Dies erlaubt es, die Polare auch folgendermaßen zu definieren:

Zeichnet man durch einen Punkt P (den Pol) die Sekanten zu einem nicht entarteten Kegelschnitt, so liegen die vierten harmonischen Punkte, die (zusammen mit P) die ausgeschnittenen Sehnen harmonisch teilen, auf einer Geraden. Diese Gerade heißt die Polare zu P (bezüglich des Kegelschnitts).

Bei dieser Definition wird nicht mehr vorausgesetzt, dass P im Äußeren des Kegelschnitts liegt. Auch zu jedem Punkt im Innern gibt es danach eine wohl definierte Polare.

Innen liegender Pol

Konstruktion der Polaren zu einem Punkt im Innern eines Kreises

Geometrisch erhält man die Polare zu einem Punkt P im Innern eines Kegelschnitts, indem man (mindestens zwei) Sekanten durch P zeichnet (im Bild s₁ und s₂) und an den Endpunkten ihrer Sehnen jeweils die Tangenten konstruiert. Die Schnittpunkte dieser Tangenten (im Bild Q und R) liegen auf der Polaren.

Umgekehrt kann man auch sagen:

Ist die Polare Passante des Kegelschnitts, so schneiden sich die Polaren aller auf ihr liegenden Punkte im Pol der Geraden.

Sonderfälle

• Liegt der Pol auf der Kegelschnittlinie, so ist die Polare die Tangente in diesem Punkt. (Oder umgekehrt: Ist die Polare Tangente an den Kegelschnitt, so ist ihr Pol der Berührpunkt.)
• Die Polare des Mittelpunkts ist die unendlich ferne Gerade.
• Pol zu einem Durchmesser ist ein unendlich ferner Punkt, und zwar der, dessen Richtung die (parallelen!) Tangenten am Ende des Durchmessers angeben.

Höhere Dimensionen

Im dreidimensionalen Raum tritt an die Stelle des Kegelschnitts als vermittelndes Element eine Fläche zweiter Ordnung, im einfachsten Fall also eine Kugel. Ist der Pol ein äußerer Punkt, so gibt es von ihm aus nicht nur zwei Tangenten, sondern im Allgemeinen eine ganze Schar von Tangenten, die einen Kegel (nicht notwendig einen Kreiskegel!) bilden. Dieser berührt die Fläche zweiter Ordnung in einer Linie (genauer: in einem Kegelschnitt – bei der Kugel in einem Kreis), und diese Linie ist die Schnittline der Fläche zweiter Ordnung mit einer Ebene – eben der Polarebene. Dieser Begriff ersetzt hier also den Begriff Polare.

Durch den Pol verlaufende Sekanten erzeugen auch hier eine harmonische Teilung, und man kann, auch für Punkte im Innern der Fläche zweiter Ordnung, ganz analog zum zweidimensionalen Fall definieren:

Zeichnet man durch einen Punkt P (den Pol) die Sekanten zu einer nicht entarteten Fläche zweiter Ordnung, so liegen die vierten harmonischen Punkte, die (zusammen mit P) die ausgeschnittenen Sehnen harmonisch teilen, auf einer Ebene. Diese Ebene heißt die Polebene zu P (bezüglich der Fläche zweiter Ordnung).

Auch die Sonderfälle verhalten sich analog.

Entsprechende Begriffsbildungen sind auch für Räume mit mehr als drei Dimensionen möglich.

Verwendung des Begriffs in der Kugelgeometrie

In anderer Weise wird das Begriffspaar Pol und Polare in der sphärischen Geometrie oder Kugelgeometrie verwendet. Dort verhalten sich Polare und Pol wie der Erdäquator zu den geographischen Polen. Die Polare zu einem (elliptischen) Punkt (also zu einem Paar aus einem Punkt und seinem Gegenpunkt) ist also der Großkreis, der am weitesten von diesem entfernt ist. Der Pol zu einem Großkreis p (der Polaren) ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Großkreise, die senkrecht zu p stehen, sich dort schneiden.

Eine Verbindung zwischen den beiden Begriffsbildungen lässt sich mit Hilfe der Inversion herstellen.