Polytop (Geometrie)

Polytop bezeichnet in der Geometrie ein verallgemeinertes Polygon in beliebiger Dimension. Man spricht von k-Polytopen, wo k die Dimension ist. Ein 0-Polytop ist eine einzelne Ecke (ein Punkt); ein 1-Polytop besteht aus zwei Ecken, die durch eine Kante verbunden sind; ein 2-Polytop besteht aus mehreren, jeweils an einer Ecke verbundenen, einen Zyklus bildenden 1-Polytopen und stellt somit ein Polygon dar; ein 3-Polytop besteht wiederum aus mehreren an den Kanten verbundenen 2-Polytopen und stellt somit ein Polyeder dar; usw. Allgemein wird ein (k + 1)-Polytop gebildet aus mehreren k-Polytopen, die untereinander jeweils ein (k − 1)-Polytop gemeinsam haben können (wie die gemeinsame Ecke zweier Kanten oder die gemeinsame Kante zweier Flächen). Des Weiteren müssen alle (k − 1)-Unterpolytope in genau zwei k-Polytopen enthalten sein, und zwischen zwei k-Unterpolytopen muss eine Reihe von k-Unterpolytopen existieren, so dass jeweils zwei benachbarte Glieder auf die zuvor beschriebene Weise verbunden sind – so bilden etwa nach dieser Definition mehrere disjunkte Polygone zusammen kein 2-Polytop.

Beispiele für Polytope mit der Dimension 3

Einige Polytope mit regelmäßigen Polygonen als Seitenflächen haben besondere Namen, entsprechend dem griechischen Wort für die Anzahl ihrer Seitenflächen. Hier am Beispiel der Platonischen Körper, bei denen an jeder Ecke die gleiche Anzahl von Seitenflächen aneinanderstößt:

• Tetraeder (4 gleichseitige Dreiecke)
• Hexaeder (6 Quadrate, also ein Würfel)
• Oktaeder (8 gleichseitige Dreiecke)
• Dodekaeder (12 regelmäßige Fünfecke)
• Ikosaeder (20 gleichseitige Dreiecke)

Die Prismen und die Pyramiden sind weitere Beispiele.

Jedes dreidimensionale konvexe Polytop ist Durchschnitt endlich vieler Halbräume. Dabei besteht ein Halbraum aus einer (Hyper-)Ebene und einer der beiden offenen Mengen, in die die Ebene den Raum zerlegt. Dies gilt analog auch für mehrdimensionale Polytope.

Für dreidimensionale Polytope mit e Ecken, k Kanten und f Flächen gilt die Eulersche Polyederformel

e + f = k + 2.

Auch diese lässt sich auf n-dimensionale Polytope verallgemeinern.

Konvexe Polytope

Ein konvexes Polytop (oft auch nur Polytop) ist die konvexe Hülle einer endlichen Menge von Punkten. Formal ist also eine Menge $M\subseteq \R^n$ ein konvexes Polytop, wenn sie sich in der Form

$M=\mathrm{conv}(\{x_1,\dots,x_k\})$ mit  $x_1,\dots,x_k\in\R^n$

darstellen lässt.

Ein eigentliches (konvexes) Polytop ist ein Polytop, das nicht ganz in einem echten Unterraum liegt, also schon die Dimension n hat.

Jedes eigentliche Polytop zerlegt den Raum in sein Inneres, sein Äußeres und seinen Rand. Jede Strecke, die einen inneren und einen äußeren Punkt verbindet, schneidet den Rand in genau einem Punkt. Der Durchschnitt zweier eigentlicher Polytope mit einem gemeinsamen inneren Punkt ist wieder ein eigentliches Polytop. Durch Induktion folgt dasselbe für endlich viele eigentliche Polytope mit einem gemeinsamen inneren Punkt.

Konvexe Polytope spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der linearen Optimierung.

In gewissen Dimensionen haben konvexe Polytope spezielle Namen erhalten, wie sie in folgender Tabelle aufgelistet sind:

Dimension	Name des d-Polytops
0	Ecke
1	Kante
2	Polygon
3	Polyeder
4	Polychor

Betrachtet man ein Polytop der Dimension d, dann existieren folgende Bezeichnungen:

Dimension	Name des Unterpolytops
d − 3	engl.: peak (etwa: „Spitze“)
d − 2	Grat (z. B. Kante (d = 1) eines Tetraeders (d = 3), Ecke (d = 0) eines Polygons (d = 2), …)
d − 1	Facette (z. B. Seitenfläche (d = 2) eines Würfels (d = 3), Kante (d = 1) eines Polygons (d=2), …)
d	engl.: body (etwa: „Rumpf“)