Platonischer Körper

Platonische Körper als Kunstobjekte im Bagno Steinfurt

Die Platonischen Körper (nach dem griechischen Philosophen Platon) sind die Körper von größtmöglicher Symmetrie. Sie werden auch als reguläre Körper (von lat. corpora regularia^[1][2]) bezeichnet.

Es handelt sich bei ihnen um konvexe Polyeder. Ihre Seitenflächen bestehen aus Polygonen (Vieleck), die regelmäßig und zueinander kongruent (deckungsgleich) sind. In jeder Ecke des Körpers treffen jeweils gleich viele Kanten zusammen.

Es gibt fünf Platonische Körper: Tetraeder, Hexaeder (Würfel), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Ihre Namen geben auf griechisch die Anzahl ihrer Flächen wieder (4, 6, 8, 12 oder 20).

Grundlegende Eigenschaften

Definition

Jeder der fünf Platonischen Körper hat folgende Eigenschaften:^[3]

• Sie setzen sich aus Flächen zusammen, sind also Polygone.
• Sie sind konvex: Es bestehen keine einspringenden Ecken oder Kanten.
• Sie sind kongruent: Die Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander geometrisch gleichartig.
• Sie sind regulär: Alle Ecken haben gleiche Flächen- und Kantenwinkel, alle Flächen sind gleichseitig und gleichwinklig.
• Sie sind symmetrisch: Jede Ecke/Kante/Fläche kann mittels einer Drehbewegung in jede andere Ecke/Kante/Fläche überführt werden.
• Aufgrund der Symmetrie von Ecken, Kanten und Flächen existiert eine Umkugel, eine Kantenkugel und eine Inkugel.

Typen

	Tetraeder	Hexaeder	Oktaeder	Dodekaeder	Ikosaeder
Art der Seitenflächen	gleichseitige Dreiecke	Quadrate	gleichseitige Dreiecke	regelmäßige Fünfecke	gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen	4	6	8	12	20
Anzahl der Ecken	4	8	6	20	12
Anzahl der Kanten	6	12	12	30	30
Schläfli-Symbol	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
dual zu	Tetraeder	Oktaeder	Hexaeder	Ikosaeder	Dodekaeder
Netz
Anzahl verschiedener Netze	2	11	11	43380	43380
Anzahl Kanten in einer Ecke	3	3	4	3	5
Anzahl Ecken einer Fläche	3	4	3	5	3
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	$\frac{2}{9\pi} \sqrt{3}$   ≈ 12,25 %	$\frac{2}{3\pi} \sqrt{3}$   ≈ 36,76 %	$\frac{1}{\pi}$   ≈ 31,83 %	$\frac{\sqrt{15}}{6\pi} \left( 1 + \sqrt{5} \right)$   ≈ 66,49 %	$\frac{ \sqrt{2}}{2 \pi} \sqrt{5 + \sqrt{5}}$   ≈ 60,55 %

Anzahl

Zwei platonische Körper vom selben Typ sind zueinander ähnlich, d. h., ein platonischer Körper ist durch die Angabe einer einzigen Größe, beispielsweise Kantenlänge, Körpervolumen oder Umkugelradius, bereits eindeutig bestimmt. In diesem Sinne ist es also gerechtfertigt, von dem Tetraeder, dem Hexaeder usw. zu sprechen.

Unter den Bedingungen, dass die Oberfläche nur aus gleichen und regelmäßigen Polygonen besteht, an jeder Ecke jeweils gleich viele Kanten zusammentreffen und der Körper konvex (frei von Einbuchtungen) ist, gibt es genau fünf platonische Körper. Der Beweis dafür findet sich schon bei Euklid^[4]. Er beruht auf folgenden Überlegungen:

• Für jede Polyederecke ist die Summe der Innenwinkel aller angrenzenden Flächen kleiner als 360°. Wäre sie genau 360°, würden die Flächen in einer Ebene liegen; auch bei mehr als 360° wäre keine Ecke möglich.
• Andererseits müssen sich an jeder Ecke eines Polyeders mindestens drei Flächen treffen.

Sind also bei einem Körper alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke (Innenwinkel 60°), so können daher an einer Ecke drei, vier oder fünf Dreiecke (Winkelsumme 180°, 240°, 300°) zusammentreffen. Sind die Seitenflächen Quadrate (Innenwinkel 90°) oder regelmäßige Fünfecke (Innenwinkel 108°), so können davon jeweils drei zusammentreffen (Winkelsumme 270° bei Quadraten bzw. 324° bei Fünfecken). Sechs gleichseitige Dreiecke, vier Quadrate und drei regelmäßige Sechsecke (Innenwinkel 120°) ergeben jeweils genau 360°, so dass keine Ecke im Raum entsteht, sondern reguläre Parkettierungen der Ebene. Alle anderen Möglichkeiten (vier regelmäßige Fünfecke, drei regelmäßige Siebenecke, etc.) überschreiten diesen Winkel bereits.

Bei drei bzw. vier gleichseitigen Dreiecken und bei drei Quadraten pro Ecke ist leicht zu sehen, dass es entsprechende Körper tatsächlich gibt. Beim Ikosaeder und Dodekaeder ist nicht unmittelbar klar, dass die Vielecke sich lückenlos und überschneidungsfrei zusammenschließen. Um das zu belegen, dienen noch folgende Überlegungen: Ein Ikosaeder – bei dem fünf gleichseitige Dreiecke in einer Ecke zusammenstoßen – kann man wie folgt konstruieren:

Man verbindet bei zwei Fünfecken, die parallel zueinander liegen und die gegeneinander verdreht sind, jeweils die „verdrehten“ Ecken so miteinander, dass zehn gleichseitige Dreiecke entstehen (formal ausgedrückt: man bildet zu einem Fünfeck ein Antiprisma). Setzt man auf die Basis und auf die Deckfläche jeweils eine fünfseitige Pyramide (mit fünf gleichseitigen Dreiecken als Mantel) auf, so erhält man einen Körper mit 12 Ecken und 20 gleichseitigen Dreiecken. Es zeigt sich (z. B. durch Nachrechnen), dass die beiden den Pyramidenspitzen entsprechenden Ecken und die zehn Ecken des Antiprismas kongruent (mit gleichen Flächenwinkeln) sind, also tatsächlich ein völlig regelmäßiges (ein reguläres) Polyeder vorliegt. Das Dodekaeder ergibt sich dann als duales Polyeder. (Ohne diese Überlegung ist es nicht selbstverständlich, dass das Dodekaeder tatsächlich durch ebene Fünfecke realisiert werden kann.)

Die fünf oben gezeigten platonischen Körper sind also (bis auf Ähnlichkeit) tatsächlich die einzigen konvexen Körper dieser Art (kongruente regelmäßige Seitenflächen, kongruente Ecken – die Regularität muss nicht vorausgesetzt werden).

(Ein vollständiger Beweis unter noch etwas schwächeren Voraussetzungen – für sphärische Polyeder – kann mit der eulerschen Polyederformel geführt werden.)

Kurz zusammengefasst: An einer Ecke können drei, vier oder fünf gleichseitige Dreiecke zusammenkommen. Auch drei Quadrate oder drei regelmäßige Fünfecke sind möglich. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht.

Weitere Polyeder mit regelmäßigen Vielecken als Seitenflächen ergeben sich nur, wenn Vielecke mit unterschiedlicher Eckenzahl (aber eventuell gleicher Eckenart) zugelassen werden – dazu gehören unter anderem die archimedischen Körper – sowie Körper, bei denen nicht an jeder Ecke gleich viele Vielecke zusammentreffen.

Dualität

Mathematische Dualität im Allgemeinen herrscht zwischen einem konvexen Polyeder und seinem sogenannten Dualkörper. Dessen Kanten konstruiert man, indem man die Mittelpunkte jeweils benachbarter Seitenflächen des Polyeders miteinander verbindet.

Somit hat das duale Polyeder genauso viele Ecken wie das Ausgangspolyeder Flächen hat. Der Dualkörper hat zudem genauso viele Flächen, wie der Ausgangskörper Ecken hat. Letzteres kann man sich räumlich so vorstellen, dass jede („vergrößerte“) Fläche des Dualkörpers eine Ecke des Ausgangskörper abschneidet. Drittens gilt, dass das Dualpolyeder und sein Ausgangspolyeder die gleiche Anzahl an Kanten haben. Dies lässt sich ebenfalls aus obiger Konstruktion ablesen: Zwei „benachbarte Seitenflächen“ bilden gemeinsam eine Kante des Ausgangspolyeders und die „Verbindung der zwei Mittelpunkte“ dieser benachbarten Seitenflächen stellt eine Kante des Dualkörpers dar.

Bei den Platonischen Körpern, als Untergruppe der konvexen Polyeder, gibt es bezüglich deren Dualkörper noch folgende Besonderheiten: Erstens haben hier Ausgangs- und Dualkörper denselben geometrischen Schwerpunkt. Zweitens ist der Dualköper eines Platonischen Körpers auch selbst ein Platonischer Körper. Dabei bilden Hexaeder (Würfel) und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder jeweils ein duales Paar. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, wobei sich jedoch das duale Tetraeder in (verkleinerter) zentralsymmetrischer Lage befindet, d. h., es „steht auf dem Kopf“. Drittens: Wiederholt man obige Konstruktion und konstruiert den dualen Körper zum Dualkörper, so erhält man einen „verkleinerten“ Ausgangskörper – also einen Platonischen Körper, der per Zentrische Streckung in den Ausgangskörper überführt werden kann. Beide haben somit denselben Schwerpunkt.

Tetraeder im Tetraeder	Oktaeder im Hexaeder	Hexaeder im Oktaeder	Ikosaeder im Dodekaeder	Dodekaeder im Ikosaeder

Symmetrie

Die platonischen Körper zeigen größtmögliche Symmetrie:

• Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig, d. h., jede Ecke (Kante, Fläche) kann durch eine Symmetrie des Körpers auf jede andere Ecke (Kante, Fläche) abgebildet werden.

Man sagt dazu:

• Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Ecken (wie auch auf den Kanten und Flächen).

Es gilt sogar:

• Die Symmetriegruppe wirkt transitiv auf den Fahnen. (Eine Fahne ist eine Ecke auf einer Kante auf einer Fläche.)

Die fünf platonischen Körper sind daher reguläre Polyeder. Die bei ihnen auftretenden Symmetriegruppen (und ihre Untergruppen) gehören zu den diskreten Punktgruppen. Duale platonische Körper haben dieselbe Symmetriegruppe. Das ist die Basis für die Konstruktion zahlreicher anderer Körper (z. B. der archimedischen Körper). Es gibt also nicht fünf, sondern nur drei dieser Gruppen: die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe. Sie spielen in unterschiedlichen Zusammenhängen in der Mathematik eine Rolle.

Aufgrund ihrer Symmetrie haben homogen gefertigte Modelle platonischer Körper die Eigenschaft, dass sie bei einem Wurf mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen können. Die meisten Spielwürfel sind übrigens aufgrund der Vertiefungen für die Augenzahlen nicht absolut perfekt symmetrisch.

Deltaeder

Da Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder auch zu den konvexen Deltaedern gehören, gehört aus jeder Symmetriegruppe ein Körper zu den Deltaedern.

Berührende Kugeln

Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat

• eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt, und
• eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen, sowie
• eine Kantenkugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen.

Der gemeinsame Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt (oder das Zentrum) des platonischen Körpers.

Weitere mathematische Eigenschaften

Platonische Körper als reguläre Parkettierungen der Sphäre

Projiziert man die Kanten eines platonischen Körpers aus dem Mittelpunkt auf eine Kugel mit demselben Mittelpunkt (z. B. auf die Umkugel), so erhält man eine Parkettierung der Kugeloberfläche durch zueinander kongruente regelmäßige sphärische Vielecke, wobei in jeder Ecke gleich viele Kanten (unter gleichen Winkeln) zusammentreffen. Diese Parkettierungen haben dieselben Symmetrien wie der Ausgangskörper. Insbesondere sind sie ebenfalls fahnentransitiv. Es sind die fünf regulären Parkettierungen der Sphäre, zwischen denen dieselben Dualitätsbeziehungen bestehen wie zwischen den Körpern. (In anderem Zusammenhang spricht man auch von Landkarten und dualen Landkarten.)

Jede reguläre Parkettierung kann durch das Paar (p,q) beschrieben werden, wobei p für die Anzahl der Kanten eines Steines und q für die Anzahl der in einer Ecke endenden Kanten steht. Die platonischen Körper ergeben daher die dualen Paare (3,4) und (4,3), (3,5) und (5,3) sowie das selbstduale Paar (3,3). Das sind alle Lösungen der Ungleichung

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}\ (p,q \in \mathbb N)$

Diese Beziehung folgt aus dem eulerschen Polyedersatz, der die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten zueinander in Bezug stellt:

Flächen + Ecken = Kanten + 2, wobei die Konstante 2 für die Sphäre charakteristisch ist.^[5]

In der Ebene gilt (bei geeigneter Interpretation, nämlich asymptotisch)

Flächen + Ecken = Kanten

oder

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2}\ (p,q \in \mathbb N)$

mit den Lösungen

(4,4) (selbstdual) sowie (3,6) und dual dazu (6,3), die für die drei regulären Parkettierungen der Ebene (durch Quadrate, Dreiecke und Sechsecke) stehen, die daher (in diesem Sinn) als Verallgemeinerung der platonischen Körper gelten können.

Die Lösungen von

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} < \frac{1}{2}\ (p,q \in \mathbb N)$

liefern die regulären Parkettierungen der hyperbolischen Ebene.

Aus den platonischen Körpern abgeleitete Polyeder

Wegen der starken Regelmäßigkeit der platonischen Körper kann man leicht andere Körper von ihnen ableiten, die auch wieder sehr regelmäßig sind. Man muss dazu nur die gleichen Konstruktionen symmetrisch auf Flächen, Kanten oder Ecken anwenden. Ein Beispiel dafür sind die dualen Körper, die sich dadurch ergeben, dass man den Mittelpunkt jeder Fläche mit den Mittelpunkten der angrenzenden Flächen verbindet.

Einbeschreibungen

Es bestehen durchaus noch andere Möglichkeiten, einen platonischen Körper in einen anderen einzubauen.

Würfel und Dodekaeder

Zum Beispiel erhält man ein Tetraeder, wenn man die Diagonale einer Würfelfläche als eine Kante verwendet, die dazu windschiefe Diagonale auf der gegenüberliegende Fläche als eine andere, und als die anderen vier Kanten die Diagonalen benutzt, die die Enden der beiden verbinden.

Ein Oktaeder erhält man, wenn man Flächen durch die Mittelpunkte der Kanten eines Tetraeders legt.

Aus einem Würfel erhält man ein Dodekaeder, wenn man auf jede Seitenfläche ein geeignetes Walmdach aufsetzt; umgekehrt erhält man durch eine passende Auswahl von Flächendiagonalen auf einem Dodekaeder den Würfel zurück:

Abgestumpfte platonische Körper

Wenn man von einem platonischen Körper ausgehend ein abgestumpftes Polyeder erzeugt, indem man seine Ecken so abschneidet, dass danach alle Kanten gleich lang sind, so erhält man einen halbregulären (archimedischen) Körper. Dieser Körper entsteht auch als Schnitt des platonischen Körpers mit seinem passend vergrößerten Dualkörper.

Abgestumpftes Tetraeder	Abgestumpfter Würfel	Abgestumpftes Oktaeder	Abgestumpftes Dodekaeder	Abgestumpftes Ikosaeder

Archimedische Körper sind Beispiele für ziemlich regelmäßige Körper, bei denen Polygone verwendet werden, die zwar regelmäßig, aber von unterschiedlicher Seitenzahl sind.

Sternkörper

Baut man Pyramiden auf den Seitenflächen auf, anstatt abzuschneiden, erhält man Sternkörper, wie das Sterntetraeder.

Verwendet man für die Pyramiden gleichseitige Dreiecke, hat man Beispiele für Polyeder, die vollständig aus gleichen Polygonen bestehen, bei denen aber unterschiedlich viele in den Ecken zusammenstoßen.

Geschichte

Die Platonischen Körper wurden seit der Antike studiert. Die Pythagoreer (6. Jahrhundert v. Chr.) unterschieden zumindest zwischen Tetraeder, Hexaeder und Dodekaeder. Das Oktaeder wurde möglicherweise noch nicht beachtet, weil es als Doppelpyramide angesehen wurde. Der Athener Theaitetos (415–369 v. Chr.) kannte auch Oktaeder und Ikosaeder. Er bewies, dass es nur fünf konvexe reguläre Polyeder geben kann.

Der griechische Philosoph Platon (ca. 427–347 v. Chr.), ein Zeitgenosse Theaitetos’, wurde der Namensgeber für die fünf Körper. In seinem Werk Timaios (Kap. 20, 53c4–55c6) beschrieb er sie ausführlich. Er band die Platonischen Körper in sein philosophisches System ein, indem er sie (ausgenommen Dodekaeder) den vier Elementen zuordnete (Kap. 21, 55c7–56c7): Feuer stand für das Tetraeder, Luft für das Oktaeder. Das Ikosaeder wurde mit Wasser assoziiert, das Hexaeder mit Erde. Das Dodekaeder ließ sich nach dieser Theorie mit dem von Aristoteles postulierten fünften Element Äther gleichsetzen.

Euklid (360–280 v. Chr.) beschrieb die Platonischen Körper im XIII. Buch seiner Elemente (§§ 13–17). Darin bewies er unter anderem, dass es genau fünf gibt (§ 18a). Hypsikles nahm im später angefügten „XIV. Buch“ (aus dem 2. Jahrhundert v. Chr.) einige Volumenberechnungen vor. Das „XV. Buch“ (aus dem 6. Jahrhundert n. Chr.) enthielt weitere Entdeckungen griechischer Mathematiker bezüglich der fünf regulären Körper.

Mit dem Aufkommen der Perspektive verarbeiteten mehrere Künstler die Platonischen Körper in ihren Werken: Piero della Francesca, Leonardo da Vinci (Illustrationen zu Divina Proportione von Luca Pacioli), Albrecht Dürer, Wenzel Jamnitzer (Perspectiva Corporum Regularium, 1568).

Johannes Kepler gelang es (Mysterium Cosmographicum, 1596), die Bahnradien der sechs damals bekannten Planeten durch eine bestimmte Abfolge der fünf Körper und ihrer Innen- und Außenkugeln darzustellen. Diese Interpretation stimmte weitgehend mit den damals bekannten astronomischen Werten überein, entsprach aber tatsächlich keiner Gesetzmäßigkeit.

Platonische Körper jenseits der Mathematik

Die fünf Platonischen Körper als Würfel für Rollenspiele

Die auffällige Regelmäßigkeit macht die platonischen Körper auf vielerlei Art für den Menschen interessant.

• Die Platonischen Körper sind Lösungen des Problems von Thomson (nach Joseph John Thomson): Anschaulich gesprochen beschreibt dieses Problem, wie sich n Elektronen auf einer Kugeloberfläche verteilen. Da sich die Elektronen wegen ihrer Ladung gegenseitig abstoßen, sind sie bestrebt, einen maximalen Abstand zu allen anderen einzunehmen. Nur für n gleich der Eckenzahl eines Platonischen Körpers (sowie bei 2 und 3) ist die Verteilung optimal und völlig gleichmäßig möglich. Im Allgemeinen existiert kein exaktes Verteilungsverfahren.
• Zusätzlich zum klassischen, geometrischen Würfel, der leicht herzustellen ist und schon seit Jahrtausenden für Glücksspiele verwendet wurde, finden heute auch die anderen platonischen Körper (die auch als Würfel bezeichnet werden) Anwendung im Spiel, z. B. im Fantasy-Rollenspiel (siehe Spielwürfel). Die Voraussetzungen dazu sind eine physikalisch gleichmäßige Dichteverteilung – also homogenes Material – sowie die gleichartige Beschaffenheit aller Ecken und Kanten.
• Platonische Körper sind seit langem Objekte bildender Künstler. In der modernen Kunst hat sich vor allem M. C. Escher mit ihnen und ihnen ähnlichen regelmäßigen Körpern beschäftigt; auch Werke von Salvador Dalí thematisieren platonische Körper oder ihre Entfaltung.
• Platonische Polyeder spielen auch eine wichtige Rolle im Adventure-Spiel The Dig.
• Über den Verwendungszweck des römischen Pentagondodekaeders wird bis heute spekuliert.
• Rudolf von Laban konkretisierte seine raum-rhythmische Bewegungslehre (Choreutik) vorwiegend im Modell des Ikosaeders.
• Im Management von Teams könne man, laut einem Vorschlag von Stafford Beer, die platonischen Körper als Vorbild für Vernetzung bei Konzentration der Mitarbeiter auf ihre Themen verwenden. Jeder Mitarbeiter entspricht einer Kante, jedes Thema einer Ecke eines platonischen Körpers. Zu jedem Thema trifft man sich regelmäßig mit genau den Mitarbeitern, deren Kanten in dieser Themen-Ecke zusammenlaufen. So bearbeitet ein Mitarbeiter maximal zwei Themen gleichzeitig und kann sich gut konzentrieren. Auch bei großen Teams (z. B. Ikosaeder = 30 Mitarbeiter, 5 Mitarbeiter pro Thema, 12 Themen) sei somit gewährleistet, dass Ordnung herrscht. Beers Idee wurde am Managementzentrum Sankt Gallen aufgegriffen und eine darauf beruhende Methode namens Syntegrity vorgeschlagen.^[6]

Auch in der Natur können sich vorhandene Regelmäßigkeiten als platonische Körper ausprägen.

• Tetraeder, Würfel und Oktaeder kommen in der Natur als (idealisierte) Kristalle vor; dodekaedrische und ikosaedrische Symmetrieelemente finden sich bei Quasikristallen.
• Exakte Dodekaeder kommen nicht als Kristalle vor. Kristalle bestimmter Mineralien, wie z. B. Pyrit, die äußerlich wie ein Dodekaeder aussehen, sind keine exakten Pentagondodekaeder, sondern verzerrt. Allerdings ist die Verzerrung mit dem bloßen Auge aus der Entfernung oft nicht wahrzunehmen. Aus der Nähe betrachtet erkennt man jedoch, dass diese Körper nicht aus regelmäßigen (sondern unregelmäßigen) Fünfecken geformt sind. Zum Beispiel bilden Natriumchlorid und Alaun, das beim Ausfällen mit gewissen anderen Stoffen dotiert ist, Würfelkristalle. Reines Alaun kristallisiert als Oktaeder. Dabei ist die Abgrenzung zwischen den einzelnen Formen nicht absolut, sondern die interne Symmetrie kann sich in unterschiedlichen Ausprägungen äußern. In der Mineralogie fallen alle die platonischen Körper, Tetraeder, Würfel und Oktaeder sowie Rhombendodekaeder, Kuboktaeder und ihre Mischformen unter den Begriff kubisch. Nicht wenige Mineralien können dementsprechend mehrere dieser kubischen Formen annehmen. Dazu gehört zum Beispiel Pyrit, das sowohl als Würfel als auch als Oktaeder oder, wie oben beschrieben, als verzerrtes Dodekaeder vorkommt.
• Platonische Körper, im speziellen das Ikosaeder, sind sehr häufig Strukturformen, wie sie bei Clustern (also kleinen Nanoteilchen) beobachtet werden.
• Einige der Platonischen Körper werden von organischen Kohlenwasserstoffmolekülen gebildet (siehe Platonische Kohlenwasserstoffe).

Siehe auch

• Archimedischer Körper
• Catalanischer Körper
• Johnson-Körper
• Lorenz Stöer

Einzelnachweise

1. ↑ Noua corpora regularia: seu, Quinque corporum regularium simplicium, in quinque alia regularia composita, metamorphosis. Inventa ante annos 60 à Thoma Diggseio Armigero, jam, prolematibus additis nonnullis, demonstrata à nepote
2. ↑ Leibfried, Christophorus, Tabula III. Orbium Planetarum Dimensiones et Distantias Per Quinque Regularia Corpora Geometrica Exhibens
3. ↑ Renatus Ziegler: Platonische Körper - Verwandtschaften, Metamorphosen, Umstülpungen. Dornach 2008, S. 10.
4. ↑ Euklid: Die Elemente. Buch XIII, § 18a
5. ↑ Die Anzahl der Flächen ist 2 mal Anz. der Kanten geteilt durch p, die der Ecken 2 mal Anz. der Kanten geteilt durch q
6. ↑ Martin Pfiffner: Team Syntegrity® – Der kybernetischeWeg zur Willensbildung in Organisationen. Malik on Management, 5/2001, S. 82–95. Online unter [1]

Weblinks

 Commons: Platonische Körper – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien

• Information über Platonischer Körper
• Grafische Verdeutlichung anhand eines Java-Applets
• Platonisches Mobile
• Bastelbögen für Platonische Körper
• Platonische Körper aus Flechtstreifen
• LernUmgebung Platonische Körper von der Universität Bayreuth
• Polyedergarten
• Polyeder Entfaltung
• Flash Video: Platonische Körper (aus der Fernsehsendung Mathematik zum Anfassen des Senders BR-alpha) von Albrecht Beutelspacher
• Platonische Körper aus Visitkarten
• Origami: Platonische Körper
• Eric W. Weisstein: Platonic solid. In: MathWorld. (englisch)

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