Produktmaß

Ein Produktmaß ist in der Maßtheorie ein Maß auf dem Produkt zweier Maßräume.

Konstruktion des Produktmaßes

Einleitung

Wenn man an die gewohnten reellen Zahlengeraden (also die x- und y-Achse) mit dem Lebesgue-Borel-Maß λ denkt, so ist es naheliegend, den $\mathbb{R}^2$ als den gemeinsamen Produktraum zu definieren. Das zweidimensionale Lebesguemaß (also ein Flächeninhalt) ist hier dadurch gegeben, dass ein Rechteck mit Kantenlängen (d. h. eindimensionalem Lebesguemaß) a und b der Flächeninhalt $a \cdot b$ haben soll, also das Produkt der Maße auf den Projektionen.

Für zwei beliebige Messräume $(\mathbb{X}_1,\mathcal{A}_1)$ und $(\mathbb{X}_2,\mathcal{A}_2)$ ist zunächst die Produkt-σ-Algebra $\mathcal{A}=\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2$ zu definieren. Diese ist die vom Produkt von $\mathcal{A}_1$ und $\mathcal{A}_2$ $\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2=\left\{A_1\times A_2 | A_1\in\mathcal{A}_1, A_2\in\mathcal{A}_2\right\}$ erzeugte σ-Algebra, also die kleinste σ-Algebra, welche $\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2$ enthält. (Dieser technische Schritt ist nötig, weil das Produkt $\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2$ selbst im Allgemeinen keine σ-Algebra ist, sondern nur ein Halbring.)

Produkte zweier Maße

Seien nun $(\mathbb{X}_1,\mathcal{A}_1,\mu_1)$ und $(\mathbb{X}_2,\mathcal{A}_2,\mu_2)$ zwei Maßräume. Man möchte dann analog zum obigen Beispiel auf der Produkt-σ-Algebra $\mathcal{A}=\sigma(\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2)$ ein Maß μ definieren, welches $\mu(A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\mu_2(A_2)$ erfüllt für alle $A_1\in\mathcal{A}_1, A_2\in\mathcal{A}_2$. Ein Maß μ, das diese Bedingung erfüllt, wird dann Produktmaß genannt. Um zu zeigen, dass μ ein Maß ist, kann man es etwa als Integral auf $\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2$ darstellen: $\forall A_1\times A_2\in\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2$

$\mu\left(A_1\times A_2\right)= \int_{\mathbb{X}_1} \mu_2\left(\left\{x_2\in \mathbb{X}_2\mid\left(x_1,x_2\right)\in A_1\times A_2\right\}\right) d\mu_1(x_1)$

Solch ein Maß μ existiert stets, wie man etwa mit dem Fortsetzungssatz von Carathéodory zeigen kann.

Allerdings ist ein solches Maß nicht notwendigermaßen eindeutig bestimmt. Wenn es sich jedoch um zwei σ-endliche Maßräume handelt, dann ist auch $\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2$ σ-endlich und auf $\mathcal{A}$ existiert genau ein Produktmaß μ.

Produkte endlich vieler Maße

Sei $((\mathbb{X}_i,\mathcal{A}_i,\mu_i))_{i\in I}$ mit $I=\{1,\ldots,n\}$ und $n\in\mathbb{N}$ eine Familie von Maßräumen. Das auf der dazugehörigen Produkt-σ-Algebra definierte Maß $\textstyle \mu \colon \bigotimes_{i\in I}\mathcal{A}_i \rightarrow [0,\infty]$ heißt dann Produktmaß von $(\mu_i)_i\in I$ wenn für alle $\prod_{i\in I}A_i\in\prod_{i\in I}\mathcal{A}_i$

$\mu(\prod_{i\in I}A_i)=\prod_{i\in I}\mu_i(A_i)$

gilt. Die Existenz von μ zeigt man mittels vollständiger Induktion über das Produkt zweier Maße. Analog hierzu erhält man die Eindeutigkeit von μ nach dem Fortsetzungssatz, wenn μ_i für alle $i \in I$ σ-endlich ist.

Entsprechend definiert man mit $\textstyle \bigotimes_{i\in I}(\mathbb{X}_i,\mathcal{A}_i,\mu_i):=(\prod_{i\in I}\mathbb{X}_i,\bigotimes_{i\in I}\mathcal{A}_i,\bigotimes_{i\in I}\mu_i)$ den Produktmaßraum von $((\mathbb{X}_i,\mathcal{A}_i,\mu_i))_{i\in I}$.

Bemerkungen

• Mit Hilfe dieser Definition kann das Prinzip von Cavalieri in seiner allgemeinsten Form auf dem $\R^n$ für jede (fast überall) Lebesgue-messbare Teilmenge formuliert werden.
• Auch die Sätze von Fubini und Tonelli gelten unter der Voraussetzung σ-endlicher Maßräume ganz allgemein (also nicht unbedingt nur für den euklidischen Raum) für messbare Funktionen.
• Für die Eindeutigkeitsaussage von $\mu_1\otimes\mu_2$ ist wirklich notwendig, dass beide Maßräume σ-endlich sind. Setzt man nämlich $\mathbb{X}_1:=\mathbb{X}_2:=[0,1], \mathcal{A}_1:=\mathcal{A}_2:=\mathfrak{B}(\R)|_{[0,1]}$ (die auf [0,1] eingeschränkte borelsche σ-Algebra) und wählt für μ₁ das Lebesguemaß, für μ₂ das nicht σ-endliche Zählmaß, so gibt es mindestens drei verschiedene Produktmaße auf $\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2=\mathfrak{B}(\R^2)|_{[0,1]^2}$, obwohl immer noch einer der Maßräume σ-endlich ist.
• Das Produktmaß zweier vollständiger Maße ist im Allgemeinen nicht wieder vollständig, beispielsweise ist $\{0\}\times A$ für jede Teilmenge $A\subseteq\mathbb{R}$ eine λ²-Nullmenge, aber nur für $A\in\mathcal{L}(\R)$ liegt diese Menge in $\mathcal{L}(\R)\otimes\mathcal{L}(\R)$, d.h. es gilt $\mathcal{L}(\R)\otimes\mathcal{L}(\R)\subsetneq\mathcal{L}(\R^2)$
• Im Gegensatz dazu gilt für die Borelsche σ-Algebra $\mathfrak{B}(\R^m)\otimes\mathfrak{B}(\R^n)=\mathfrak{B}(\R^{m+n})$ für alle $n,m\in\mathbb{N}$.

Literatur

Schmidt, Klaus D.: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.