Metrisierbarkeit

Metrisierbarkeit

Da die metrischen Räume Spezialfälle der topologischen Räume sind, liegt es nahe, zu fragen, wann ein topologischer Raum metrisierbar ist, das heißt, welche zusätzlichen Forderungen ein topologischer Raum erfüllen muss, damit es eine Metrik gibt, die die Topologie induziert. Dieser Artikel gibt einen Überblick über notwendige und hinreichende Bedingungen für die Metrisierbarkeit, die in den Artikeln ausführlicher erklärt werden, auf die von hier aus verwiesen wird. Sätze, die schwache hinreichende Bedingungen oder gleichwertige Bedingungen zur Metrisierbarkeit formulieren, werden in der Literatur als Metrisationssätze (nach dem englischen Begriff metrization theorem) bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Notwendige Bedingungen

Jede topologische Eigenschaft, die metrische Räume stets erfüllen, stellt selbstverständlich eine notwendige Bedingung für die Metrisierbarkeit beliebiger topologischer Räume dar. Von besonderem Interesse sind aber solche Eigenschaften, die den Raum der Metrisierbarkeit „nahebringen“.

Hinreichende Bedingung

Gleichwertige Bedingung

Satz von Nagata-Smirnow: Ein topologischer Raum ist genau dann metrisierbar, wenn er regulärer Hausdorff-Raum ist und eine σ-lokal-endliche Basis besitzt.

Metrisierbarkeit topologischer Vektorräume

Topologische Begriffe zur Metrisierbarkeit

Hier werden technische Begriffe erklärt, die speziell im Zusammenhang mit der Metrisierbarkeit von Interesse sind und in anderen Zusammenhängen nicht oder nicht einheitlich verwendet werden.

  • Ein System von Teilmengen eines topologischen Raums heißt lokal endlich, wenn kein Punkt des Raumes in unendlich vielen Mengen des Systems enthalten ist.
  • Eine σ-lokal endliche Basis ist eine Basis, die sich als Vereinigungsmenge von höchstens abzählbar vielen lokal-endlichen Systemen offener Mengen darstellen lässt.
  • Eine Teilmenge G eines topologischen Raumes heißt Gδ-Menge, wenn sie als Durchschnitt abzählbar vieler offener Mengen dargestellt werden kann. (G für das „offene Gebiet“, δ für den abzählbaren Durchschnitt).
  • Eine Teilmenge F eines topologischen Raumes heißt Fσ-Menge, wenn sie als Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Mengen dargestellt werden kann. (F für die „abgeschlossene (fermé) Menge“, σ für die abzählbare Vereinigung=„Summe“).

Beispiele, Konstruktion einer Metrik

Am einfachsten lässt sich die Metrik konstruieren, wenn der metrische Raum X ein endliches Produkt metrischer Räume (M_i,d_i);\; 1\leq i\leq n ist. Man kann dann zum Beispiel die Metriken einfach addieren:
d((x_1,x_2,\ldots,x_n),(y_1,y_2,\ldots,y_n))=d_1(x_1,y_1)+d_2(x_2,y_2)+\cdots+d_n(x_n,y_n)
.

Ähnlich kann man vorgehen, wenn der metrische Raum X ein abzählbares Produkt metrischer Räume (M_i,d_i);\; i\in\mathbb{N} ist. Dann muss man durch eine positive Folge die Konvergenz der „unendlichen Summe“ erzwingen und gegebenenfalls die Metriken di durch topologisch gleichwertige, durch eine gemeinsame Schranke beschränkte Metriken ersetzen. Beides leistet die Definition:
d((x_i),(y_i))=\sum\limits_{i=0}^{\infty} 2^{-i} \frac{d_i(x_i,y_i)}{1+d_i(x_i,y_i)}
.

Gegenbeispiele

  • Die Produkttopologie X = \prod_{i\in I} M_i von mindestens zweipunktigen metrischen Räumen ist nicht metrisierbar, wenn die Indexmenge I überabzählbar ist.

Quellen

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1979, ISBN 3-540-09799-6
  • Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991. ISBN 0070542368

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