Metrisierbarkeit

Da die metrischen Räume Spezialfälle der topologischen Räume sind, liegt es nahe, zu fragen, wann ein topologischer Raum metrisierbar ist, das heißt, welche zusätzlichen Forderungen ein topologischer Raum erfüllen muss, damit es eine Metrik gibt, die die Topologie induziert. Dieser Artikel gibt einen Überblick über notwendige und hinreichende Bedingungen für die Metrisierbarkeit, die in den Artikeln ausführlicher erklärt werden, auf die von hier aus verwiesen wird. Sätze, die schwache hinreichende Bedingungen oder gleichwertige Bedingungen zur Metrisierbarkeit formulieren, werden in der Literatur als Metrisationssätze (nach dem englischen Begriff metrization theorem) bezeichnet.

Notwendige Bedingungen

Jede topologische Eigenschaft, die metrische Räume stets erfüllen, stellt selbstverständlich eine notwendige Bedingung für die Metrisierbarkeit beliebiger topologischer Räume dar. Von besonderem Interesse sind aber solche Eigenschaften, die den Raum der Metrisierbarkeit „nahebringen“.

• Trennungseigenschaften: Jeder metrisierbare Raum ist ein normaler Raum und ein Hausdorff-Raum.
• Kompaktheitseigenschaft: Jeder metrisierbare Raum ist parakompakt.
• Abzählbarkeit: Jeder metrisierbare Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom.

Hinreichende Bedingung

• Satz von Urysohn: Jeder reguläre Hausdorff-Raum, der dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt, ist metrisierbar.
• Jeder kompakte Raum, der das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, ist metrisierbar.
• Die Produkttopologie $X = \prod_{i\in I} M_i$ von metrischen Räumen ist metrisierbar, wenn die Indexmenge I höchstens abzählbar ist.

Gleichwertige Bedingung

Satz von Nagata-Smirnow: Ein topologischer Raum ist genau dann metrisierbar, wenn er regulärer Hausdorff-Raum ist und eine σ-lokal-endliche Basis besitzt.

Metrisierbarkeit topologischer Vektorräume

• Ein topologischer Vektorraum ist genau dann metrisierbar, wenn er das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Die Metrik kann so gewählt werden, dass sie translationsinvariant ist und die offenen Kugeln um den Nullpunkt ausgewogen und, falls der Raum lokalkonvex ist, konvex sind.
• Gibt es eine abzählbare separierende Familie von Halbnormen, so ist der Raum lokalkonvex und metrisierbar.
• Ein vollständig metrisierbarer lokalkonvexer Raum wird als Fréchet-Raum bezeichnet.

Topologische Begriffe zur Metrisierbarkeit

Hier werden technische Begriffe erklärt, die speziell im Zusammenhang mit der Metrisierbarkeit von Interesse sind und in anderen Zusammenhängen nicht oder nicht einheitlich verwendet werden.

• Ein System von Teilmengen eines topologischen Raums heißt lokal endlich, wenn kein Punkt des Raumes in unendlich vielen Mengen des Systems enthalten ist.
• Eine σ-lokal endliche Basis ist eine Basis, die sich als Vereinigungsmenge von höchstens abzählbar vielen lokal-endlichen Systemen offener Mengen darstellen lässt.
• Eine Teilmenge G eines topologischen Raumes heißt G_δ-Menge, wenn sie als Durchschnitt abzählbar vieler offener Mengen dargestellt werden kann. (G für das „offene Gebiet“, δ für den abzählbaren Durchschnitt).
• Eine Teilmenge F eines topologischen Raumes heißt F_σ-Menge, wenn sie als Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Mengen dargestellt werden kann. (F für die „abgeschlossene (fermé) Menge“, σ für die abzählbare Vereinigung=„Summe“).

Beispiele, Konstruktion einer Metrik

Am einfachsten lässt sich die Metrik konstruieren, wenn der metrische Raum X ein endliches Produkt metrischer Räume $(M_i,d_i);\; 1\leq i\leq n$ ist. Man kann dann zum Beispiel die Metriken einfach addieren:
$d((x_1,x_2,\ldots,x_n),(y_1,y_2,\ldots,y_n))=d_1(x_1,y_1)+d_2(x_2,y_2)+\cdots+d_n(x_n,y_n)$.

Ähnlich kann man vorgehen, wenn der metrische Raum X ein abzählbares Produkt metrischer Räume $(M_i,d_i);\; i\in\mathbb{N}$ ist. Dann muss man durch eine positive Folge die Konvergenz der „unendlichen Summe“ erzwingen und gegebenenfalls die Metriken d_i durch topologisch gleichwertige, durch eine gemeinsame Schranke beschränkte Metriken ersetzen. Beides leistet die Definition:
$d((x_i),(y_i))=\sum\limits_{i=0}^{\infty} 2^{-i} \frac{d_i(x_i,y_i)}{1+d_i(x_i,y_i)}$.

Gegenbeispiele

• Die Produkttopologie $X = \prod_{i\in I} M_i$ von mindestens zweipunktigen metrischen Räumen ist nicht metrisierbar, wenn die Indexmenge I überabzählbar ist.

• Die erste nicht abzählbare Ordinalzahl Ω₀, versehen mit ihrer Ordnungstopologie ist nicht parakompakt und daher nicht metrisierbar.

Quellen

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1979, ISBN 3-540-09799-6
• Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991. ISBN 0070542368