Radialsymmetrie

Radialsymmetrie ist eine Form der Symmetrie, bei der das Objekt invariant gegenüber allen Rotationen (also allen Winkeln und allen Achsen durch die Objektmitte) ist. Für ein Bezugssystem ist also nur der Koordinatenursprung, nicht aber die Ausrichtung von Bedeutung, wenn man ein radialsymmetrisches Objekt beschreiben will.

Im dreidimensionalen Fall nennt man die Radialsymmetrie auch Kugelsymmetrie, da (Hohl-)Kugeln die einzigen radialsymmetrischen dreidimensionalen Objekte sind.

Radialsymmetrisches Feld

In der Physik spielen radialsymmetrische Felder eine besondere Rolle. Allen radialsymmetrischen Feldern ist gemein, dass sie invariant gegenüber linearen, längenerhaltenden Koordinatentransformationen sind. Je nachdem, ob es sich um Skalarfelder, Vektorfelder oder Tensorfelder handelt, gibt es auch andere Eigenschaften, um diese Felder eindeutig zu charakterisieren.

Skalarfeld

Ein Skalarfeld $f:\R^n\rightarrow\R$ ist genau dann radialsymmetrisch, wenn man es als Funktion $\tilde f:\R\rightarrow\R$ schreiben kann, die nur vom Abstand zum Mittelpunkt (der durch $\vec x_0$ gegeben ist) abhängt:

$f(\vec x) =\tilde f(\|\vec x-\vec x_0\|)$

Vektorfeld

Ein Vektorfeld $\vec A$ ist genau dann radialsymmetrisch, wenn dessen Beträge nur vom Abstand zum Koordinatenursprung abhängen und das Feld stets in radialer Richtung zeigt. Es lässt sich also eine skalare Funktion f finden, so dass gilt:

$\vec A(\vec r) = f(\|\vec r\|) \cdot \vec e_r \quad \text{mit} \quad \vec r = \vec x - \vec x_0$

Dabei ist $\vec e_r = \vec r / \| \vec r \|$ der zugehörige Einheitsvektor in radialer Richtung. Ein Beispiel für ein radialsymmetrisches Vektorfeld ist das elektrische Feld einer Punktladung.

Siehe auch

• Zentralkraft