Reihenresonanz

Reihenresonanz, auch Spannungsresonanz oder Serienresonanz ist das Verhalten eines Reihenschwingkreises bei seiner Resonanzfrequenz.

Ein Reihen- oder Serienschwingkreis besteht aus einer Reihenschaltung einer Induktivität (L), und einer Kapazität (C). In realen Schwingkreisen tritt noch ein fiktiver Widerstand (R) hinzu, der sich aus den Verlusten ergibt, er kann auch real vorhanden sein, um den Schwingkreis zu bedämpfen (RLC-Reihenschwingkreis).

Die Reihenschaltung von R, L, und C ist eine Grundschaltung in der Wechselstromtechnik. Die Schaltung verhält sich aufgrund der Resonanz frequenzabhängig und zeigt im Bereich um diese Resonanz besondere Eigenschaften.

Resonanz

Widerstandszeigerdiagramm im allgemeinen Fall und bei Resonanz

Induktivitäten und Kapazitäten besitzen einen frequenzabhängigen Blindwiderstand. Damit wird der Scheinwiderstand Z einer Reihenschaltung aus R, L und C auch frequenzabhängig:

$|Z| = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C} \right)^2} \,$

Für den Fall, dass der Term $\left(\omega L - \frac{1}{\omega C} \right)$ in obiger Gleichung null wird, ist der Scheinwiderstand Z der Reihenschaltung nach außen hin ein reiner, reeller Wirkwiderstand Z_r = R. Die Reihenresonanz ist eingetreten. Dieses passiert bei

$\omega L = \frac{1}{\omega C} \,$

Obige Gleichung nennt man die Resonanzbedingung. Aus der Resonanzbedingung lässt sich durch Umformung und Auflösung von ω die Frequenz bestimmen, bei der die Resonanz eintritt - die Resonanzfrequenz f_r. Sie ergibt sich aus der Thomsonschen Schwingungsgleichung:

$f_r = \frac{1}{2 \pi} \frac{1}{\sqrt{L C}} \,$

Weiterhin ergibt sich bei Erfüllung der Resonanzbedingung, dass der Strom durch die Schaltung bei Resonanz seinen Maximalwert erreicht. Bei angelegter Klemmspannung U an die Reihenschaltung ergibt sich für den Maximalwert des Stroms bei Resonanz I_r nach dem ohmschen Gesetz

$I_{max} = I_r = \frac{U}{Z_r} = \frac{U}{R} \,$

Weitere Eigenschaften bei Resonanz

Resonanzspannung

Zeigerdiagramm im allgemeinen und im Resonanz Fall

An den Blindwiderständen X_L und X_C tritt bei Resonanz ein weiterer Effekt auf: An beiden wird die Spannung betragsmäßig gleich, die sogenannte Resonanzspannung U_r:

$U_r = U_{rC} = U_{rL} = \frac{I_r}{\omega_r C} = I_r \omega_r L \,$

Sie erreicht für den Fall, dass

$\frac{1}{\omega_r C} = \omega_r L > R \,$

Werte, die größer sind als die angelegte Klemmenspannung U (Spannungsüberhöhung). Aus dieser Schaltungseigenschaft resultiert die alternative Bezeichnung Spannungsresonanz für die Reihenresonanz.

Phasenwinkel

Der Phasenwinkel (Phasenverschiebung) φ bei Resonanz beträgt

$\varphi_r = \arctan{\frac{0}{R}} = 0 \,$

also keine Phasenverschiebung, da sich die Schaltung wie ein reiner Wirkwiderstand verhält.

Kreisgüte

Die Kreisgüte Q, auch Gütefaktor, Resonanzüberhöhung oder Resonanzschärfe, ist der Kehrwert des Verlustfaktors d. Für die Reihenschaltung von R, L, und C erhält man:

$Q = \frac{1}{d} = \frac{\omega_r L}{R} = \frac{1}{R \cdot \omega_r C} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \,$

Damit gibt sich für die Resonanzspannung:

$U_r = U_{rC} = U_{rL} = \frac{I_r}{\omega_r C} = I_r \omega_r L = Q U$

Siehe auch

• Parallelresonanz
• Zweipol