Reihenschwingkreis

Ein elektrischer Schwingkreis ist eine resonanzfähige elektrische Schaltung aus einer Spule (L) und einem Kondensator (C), die elektrische Schwingungen ausführen kann. Bei diesem LC-Schwingkreis wird Energie zwischen dem magnetischen Feld der Spule und dem elektrischen Feld des Kondensators periodisch ausgetauscht, wodurch abwechselnd hoher Strom oder hohe Spannung vorliegen. Die Frequenz f₀, mit der sich dieses im ungestörten Fall periodisch wiederholt, ist:

Schwingkreis allgemein
Darstellung mit Schaltzeichen gemäß EN 60617-4:1996

$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$

wobei L die Induktivität der Spule und C die Kapazität des Kondensators sind. Die Gleichung nennt man Thomsonsche Schwingungsgleichung.

Je nach Anordnung der Induktivitäten und Kapazitäten unterscheidet man zwischen Parallelschwingkreis (L parallel zu C) und Reihen- oder Serienschwingkreis (L in Reihe zu C).

Ähnliche Schaltungen aus Spule und Kondensator werden auch als LC-Glieder bezeichnet, sie befinden sich jedoch nicht zwingend in Resonanz (siehe Tiefpass, Hochpass).

Zustandekommen der Schwingung

1. Zunächst sei der Kondensator geladen und in seinem elektrischen Feld die gesamte Energie des Schwingkreises gespeichert. Zwischen den Kondensatorplatten herrscht die maximale Potentialdifferenz, womit auch die maximale Spannung am Schwingkreis anliegt. Noch fließt kein Strom durch die Spule. (Bild 1)
2. Durch die anliegende Spannung wird in der Spule ein Stromfluss hervorgerufen und der Kondensator entladen. Die Stärke des Entladestroms steigt zunächst stark, dann langsamer an. Dies geschieht, weil der ansteigende Strom den magnetischen Fluss in der Spule erhöht, wodurch nach der Lenz'schen Regel eine Gegenspannung induziert wird, die der Stromursache entgegen wirkt.
3. Die Spannung verringert sich, bis sie schließlich verschwindet und die Stromstärke ihr Maximum erreicht. Zu diesem Zeitpunkt ist auch die magnetische Feldstärke der Spule am größten und der Kondensator vollständig entladen. Die gesamte Energie ist nun im Magnetfeld der Spule gespeichert. (Bild 2)
4. Nachdem die Stromstärke ihr Maximum durchlaufen hat, nimmt sie wieder ab, wodurch auch die magnetische Flussdichte an der Spule sinkt. Nach der Lenz'schen Regel wird dadurch erneut eine Induktionsspannung induziert, dieses Mal mit negativem Vorzeichen, so dass die Stromstärke nur sehr langsam abnimmt. Die Potentialdifferenz zwischen den Kondensatorplatten steigt folglich wieder an, jedoch mit entgegengesetzter Polung zur Ausgangssituation. Dies gilt auch für die Spannung am Schwingkreis, welche nun mit negativem Vorzeichen anwächst.
5. Während die Stromstärke weiter absinkt und auf null zurückgeht, erlangt der Kondensator seine ursprüngliche Ladung wieder. Die einst im Magnetfeld gespeicherte Energie wird abermals in elektrische Feldenergie umgewandelt. (Bild 3)
6. All diese Vorgänge wiederholen sich in entgegengesetzter Richtung.

Parallelschwingkreis

Parallelschwingkreis

Idealer Parallelschwingkreis

Spule und Kondensator bilden eine Parallelschaltung. Dadurch liegt an beiden Bauteilen stets dieselbe Spannung. Die Resonanz einer solchen Schaltung nennt man Parallelresonanz; bei dieser ist beim idealen Schwingkreis der an den Klemmen beobachtbare Widerstand unendlich groß.

Zeigerdiagramm der Spule

Der Strom durch die Spule L eilt der Spannung an ihr um 90° nach;
Merksatz: In der Induktivität kommt der Strom zu spät. siehe Zeigerdiagramm.

Zeigerdiagramm des Kondensators

Bei einem Kondensator C eilt der Strom in der Phase um 90° der Spannung voraus, d. h. die Spannung liegt um 90° hinter dem Strom zurück;
Merksatz: Beim Kondensator eilt der Strom vor. siehe Zeigerdiagramm.

Zeigerdiagramm des Parallelschwingkreises

Wenn der Pfeil für I_C länger ist als der Pfeil für I_L , so ist in der Parallelschaltung der kapazitive Widerstand kleiner als der induktive Widerstand, die Frequenz liegt im betrachteten Fall höher als die Resonanzfrequenz. (Bei Resonanz müssen die Pfeile für I_C und I_L gleich lang sein.) Den resultierenden Strom in den Zuleitungen zum Schwingkreis kann man durch grafische Addition aus I_L und I_C bestimmen; er wird hier mit I_ges bezeichnet.

Die Ströme durch C und L sind dem Betrage nach größer als I_ges. Je näher man an die Resonanzfrequenz herankommt, desto kleiner wird I_ges . Anders gesagt: Nahe bei der Resonanzfrequenz ist der innerhalb des Schwingkreises fließende Strom wesentlich größer als der Strom in den Zuleitungen (Stromüberhöhung).

Der Summen-Strompfeil zeigt bei der vorliegenden Zeichnung nach links. Das bedeutet, dass sich der Schwingkreis bei der vorliegenden Frequenz wie ein Kondensator geringer Kapazität verhält; die Frequenz liegt oberhalb der Resonanzfrequenz. Präzise bei Resonanzfrequenz ist I_ges = 0, und der Parallelschwingkreis lässt keinen Strom durch. Unterhalb der Resonanzfrequenz zeigt I_ges nach rechts, und der Schwingkreis wirkt wie eine Induktivität. Dieses „Umklappen“ des Pfeils I_ges wird als Phasensprung um 180° bezeichnet und ist mit einem Oszilloskop gut zu sehen.

Das Verhältnis von U zu I wird durch den kapazitiven und induktiven Blindwiderstand X_C bzw. X_L bestimmt. Für eine Spule mit der Induktivität L gilt bei der Frequenz f:

X_L = 2πfL = ωL

Für einen Kondensator mit der Kapazität C gilt bei der Frequenz f:

$X_C = -{1 \over {2 \pi f C}} = -\frac{1}{\omega C}$

Häufig wird anstelle der Frequenz auch die Kreisfrequenz ω benutzt:

ω = 2πf

Zur Berechnung der Resonanzfrequenz f₀ des idealen Schwingkreises geht man davon aus, dass der Scheinwiderstand an den Klemmen unendlich groß ist, also der Leitwert der Parallelschaltung null.

$1/X_C + 1/X_L = 0 \$

$2 \pi f_0 C = {1 \over {2 \pi f_0 L}}$

$f_0 = {1 \over {2 \pi \sqrt{L C}}}$

oder $\omega_0 = {1 \over \sqrt{L C}}$

Realer Parallelschwingkreis

Ein realer Schwingkreis enthält in der Spule und dem Kondensator immer auch Verluste; den ohmschen Widerstand der Leitungen und der Spulenwicklung, dielektrische Verluste im Kondensator und abgestrahlte elektromagnetische Wellen. Es verbleibt dann ein restlicher Strom an den Klemmen I_R , der mit U phasengleich ist und der auch im Falle der Resonanz nicht zu null wird. Daher wird beim realen Parallelschwingkreis der Resonanzwiderstand nicht unendlich groß. Der Scheinwiderstand Z erreicht lediglich ein Maximum.

Parallelschwingkreis mit verlustbehafteter Spule

Den Verlust des Kondensators kann man meistens gegenüber dem Spulenverlust vernachlässigen. Für die verlustbehaftete Spule verwendet man vorzugsweise ihr Reihenersatzschaltbild mit L und R_L . Nach Transformation in ihr Parallelersatzschaltbild mit L_p und R_p erhält man die im Bild rechte Schaltung. Der Leitwert der Parallelschaltung aus C und L_p ist im Resonanzfall null. In diesem Fall beschränkt sich die Impedanz im Parallelschwingkreis auf R_p, den (definitionsgemäß rein ohmschen) Resonanzwiderstand; dieser ergibt sich zu:

$Z_{\mathrm r} = R_{p\ \mathrm r} = \frac{L}{R_L C}$

Die oben angegebene Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises f₀ gilt bei R_L = 0. Bei dem hier behandelten realen Schwingkreis ergibt sich anhand des Parallelersatzschaltbildes

$f_{\mathrm r} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_p C}}$

Sie ist etwas kleiner als f₀ und lässt sich berechnen zu

$f_{\mathrm r} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC} -\frac{{R_L}^2}{L^2}} =f_0\sqrt{1- \frac{R_L}{ Z_{\mathrm r}}}$

Ortskurve eines realen Parallelschwingkreises
C = 0,1 μF; L = 50 μH; R_L = 5 Ω

Die gezeigte Ortskurve veranschaulicht Eigenschaften eines Parallelschwingkreises an einem konkreten Beispiel:

1. Bei Resonanz hat der Schwingkreis einen endlich hohen rein ohmschen Widerstand Z_r ;
   anschaulich ist Z_r die Länge des waagerechten Zeigers;
   im Beispiel beträgt Z_r das Zwanzigfache des Gleichstromwiderstands R_L .
2. Der Resonanzwiderstand ist nicht zugleich das Maximum des Scheinwiderstandes Z_max ;
   anschaulich tritt Z_max beim maximalen Abstand der Ortskurve vom Nullpunkt etwas unterhalb der reellen Achse auf;
   im Beispiel ist Z_r etwa 2,5 % kleiner als Z_max .
3. Die tatsächliche Resonanzfrequenz f_r liegt niedriger als die nach der thomsonschen Schwingungsgleichung berechnete Frequenz f₀ ;
   dieses sieht man an den Frequenzwerten längs der Ortskurve;
   im Beispiel ist f_r etwa 2,5 % kleiner als f₀ .
4. Z_max tritt bei einer Frequenz nahe bei f₀ auf. Bei f₀ ist der Wirkanteil der Impedanz exakt gleich Z_r . Hinzu kommt aber ein deutlicher kapazitiver Blindanteil;
   anschaulich weist Z_max einen Blindanteil durch den senkrechten Anteil des Zeigers auf;
   im Beispiel ist bei Z_max der Betrag des Blindwiderstands größer als 22 % von Z_r .

Reihenschwingkreis

Reihenschwingkreis

Idealer Reihenschwingkreis

Ein Reihenschwingkreis, an dem eine Wechselspannung mit einstellbarer Frequenz angelegt wird.

Beim LC-Reihenschwingkreis sind Spule und Kondensator in Reihe geschaltet. Durch beide fließt derselbe Strom; an der Spule bildet sich eine gegenüber dem sinusförmigen Wechselstrom um 90° voreilende Spannung aus, am Kondensator eine um 90° nacheilende. Die Spannungen sind gegeneinander gerichtet, so dass deren Summe dem Betrage nach stets kleiner ist als jede Einzelspannung. Im Sonderfall heben sie sich auf, was einem Kurzschluss entspricht. Dieser Fall heißt Reihenresonanz oder Serienresonanz eines LC-Reihenschwingkreises. Er wird erreicht bei der Resonanzfrequenz des Schwingkreises. Der (Blind-)Widerstand der Reihenschaltung beträgt

$X = X_L + X_C = \omega L - {1 \over {\omega C}}$.

Bei der Resonanzfrequenz heben sich der kapazitive und der induktive Blindwiderstand gegenseitig auf, was den Kurzschluss bewirkt. Diese Frequenz f₀ ergibt sich aus der Bedingung

$X_L = -X_C \$

mit

ω = 2πf

zu

$f_0 = {1 \over {2 \pi \sqrt{L C}}}$

Liegt die Frequenz oberhalb der Resonanzfrequenz, ist der induktive Blindwiderstand (Spule) betragsmäßig größer als der kapazitive, so dass der Blindanteil am komplexen Gesamtwiderstand positiv ist. Der Kondensator liefert mit steigender Frequenz einen immer kleiner werdenden Anteil am gesamten Blindwiderstand, die Spule einen immer größer werdenden Anteil.

Liegt die Frequenz unterhalb der Resonanzfrequenz, ist der kapazitive Blindwiderstand des Kondensators betragsmäßig größer als der induktive Blindwiderstand der Spule und der Blindanteil des Gesamtwiderstandes hat ein negatives Vorzeichen. Hierbei wird der Spulenwiderstand mit sinkender Frequenz zunehmend kleiner und der größer werdende Betrag des Blindwiderstands des Kondensators wird immer weniger kompensiert.

Siehe auch: Oberschwingungsfilter

Bei einem Reihenschwingkreis tritt eine Spannungsüberhöhung auf, das heißt, über L und C können wesentlich höhere Spannungen auftreten als an den Anschlussklemmen (siehe Resonanztransformator).

Ortskurve eines realen Reihenschwingkreises
C = 0,1 μF; L = 50 μH; R = 5 Ω

Realer Reihenschwingkreis

Im realen Fall liegt zusätzlich zu Kondensator und Spule noch ein ohmscher Widerstand in Reihe. Dieser kann ein weiteres Bauteil sein oder allein schon der Draht der Spule.

Die gezeigte Ortskurve veranschaulicht Eigenschaften eines Reihenschwingkreises an einem konkreten Beispiel:

1. Bei Resonanz hat der Schwingkreis einen kleinen rein ohmschen Widerstand Z₀ . Dieser ist so groß wie der Widerstand R alleine.
2. Der Resonanzwiderstand ist zugleich der über alle Frequenzen minimal mögliche Scheinwiderstand.
3. Die Resonanzfrequenz ist dieselbe wie für den idealen Schwingkreis.

Oszillator

Einmal angestoßen und dann sich selbst überlassen, schwingt ein Schwingkreis mit seiner Resonanzfrequenz f₀. Infolge der Verluste (Dämpfung durch den ohmschen Widerstand) nimmt die Amplitude der Schwingung im Laufe der Zeit ab („gedämpfte Schwingung“), wenn nicht durch eine aktive Verstärkerschaltung (beispielsweise mit einem Transistor) regelmäßig wieder Energie zugeführt wird. Eine solche Schaltung bildet einen Oszillator (Schwingungserzeuger), ein Beispiel ist die Meissner-Schaltung.

Kreisgüte

In realen Schwingkreisen treten in den Induktivitäten (Spulen) und Kapazitäten (Kondensatoren) auch Verluste auf (ohmscher Widerstand, dielektrische Verluste, Abstrahlung). Dies führt dazu, dass die Schwingung eines Schwingkreises gedämpft wird. Ein Maß dafür, wie lang ein Schwingkreis eine freie Schwingung aufrechterhalten kann, ist dessen Güte. Generell ist die Güte eines Schwingkreises durch den Quotienten aus Blind- und Wirkleistung bei Resonanzfrequenz gegeben: $Q = \frac{|Q_{\omega_0}|}{P_{\omega_0}}$

Resonanzkurve

Die Resonanzkurve stellt in einem Diagramm den Scheinwiderstand eines Schwingkreises in Abhängigkeit von der Frequenz dar. Sie weist für den Parallelschwingkreis ein Maximum auf, für den Reihenschwingkreis ein Minimum. Die Extrema sind umso deutlicher ausgeprägt, je größer die Güte ist.

Güte oder Gütefaktor eines Serienschwingkreises

Die Breite B oder Δf = f₂ - f₁ (auch Bandbreite genannt) des Minimums bzw. Maximums der Resonanzkurve in der Umgebung der Resonanzfrequenz f₀ wird durch den ohmschen Widerstand mit verursacht. Dieses kann ausgenutzt werden, um die Güte eines Schwingkreises zu definieren.

Das Verhältnis

$Q = {f_0 \over {B}}$

nennt man die Güte des Serienschwingkreises. f₀ setzt sich aus dem geometrische Mittel $f_0 = { \sqrt{f_1 f_2} }$ der oberen f₂ und der unteren Grenzfrequenz f₁ zusammen. Die Grenzfrequenzen f₁ bzw. f₂ sind diejenigen Frequenzen bei denen die Spannung U bzw. der Strom I auf den $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707$ -fachen Wert des Maximalwertes zurückgehen. An dieser Stelle ist die Leistung im Schwingkreis nur noch halb so groß wie bei exakter Resonanzfrequenz.

Die Güte wird durch den fiktiven ohmschen Anteil R bestimmt. Dieser setzt sich aus den ohmschen Verlusten der Spule L und einem äquivalenten Serienwiderstand des Kondensators zusammen, der dessen dielektrische Verluste repräsentiert. Es gilt:

$Q = 2 \pi f_0 {L \over R}={1 \over R} \sqrt{L \over C}$

Der Kehrwert der Güte wird auch Dämpfung genannt.

Güte eines Parallelschwingkreises

Beim Parallelschwingkreis ist die Güte als

$Q = {f_0 \over {B}}$ definiert. B = f₂ - f₁. Für einen Parallelschwingkreis mit einem parallel geschalteten Widerstand R_p ergibt sich

$Q = R_p \sqrt{\frac{C}{L}}$

Abstimmung

Die Resonanzfrequenz hängt von L und von C ab und kann daher durch Ändern von L oder C beeinflusst werden. Der Schwingkreis wird hierdurch auf eine bestimmte Frequenz abgestimmt.

Die Induktivität L kann vergrößert werden, indem ein ferromagnetischer Kern (Eisen oder Ferrit) mehr oder weniger weit in die Spule eingeschoben wird. Auch das Verdrängen des Feldes durch Einschieben eines gut leitenden Kernes wird angewendet - dann verringert sich die Induktivität.

Die Kapazität C kann verändert werden, indem die Plattengröße oder der Plattenabstand des Kondensators verändert wird. Beim Drehkondensator und bei vielen Trimmern geschieht das, indem die Platten seitlich gegeneinander verdreht werden, so dass der Anteil der sich gegenüberliegenden Flächen verändert wird. Andere Schaltungen verwenden stattdessen zum Beispiel eine Kapazitätsdiode.

Anwendung

Filter

Der Scheinwiderstand zeigt eine Frequenzabhängigkeit, indem er nahe der Resonanzfrequenz beim Reihenschwingkreis minimal und beim Parallelschwingkreis maximal wird. Man verwendet diese Frequenzabhängigkeit, um aus einem Gemisch von Signalen unterschiedlicher Frequenzen eine bestimmte Frequenz herauszufiltern - entweder um sie allein durchzulassen, oder um sie gezielt zu unterdrücken. Der Parallelschwingkreis hat zudem den Vorteil, Gleichstrom wie beispielsweise den Betriebsstrom des Transistors unbehindert passieren zu lassen. Deshalb wird beim Einsatz in einem selektiven Verstärker immer ein Parallelschwingkreis verwendet.

• Bei älteren Telefonanlagen wurden über die Zweidrahtleitung sowohl Sprache als auch – auf höherer Frequenz – die Gebührenimpulse gesendet. Im Telefonapparat war ein Sperrkreis eingebaut, um die Frequenz des Impulses für den Hörer zu unterdrücken. Nur diese wurde über einen Serienschwingkreis zum Gebührenzähler geschickt, der wiederum keine Sprachfrequenzen erhielt.
• Mit Parallelschwingkreisen werden zum Beispiel Rundfunkempfänger auf den gewünschten Sender abgestimmt. Dabei wird ein Schwingkreis zwischen die Eingangspole geschaltet – im einfachsten Fall des Detektorempfängers direkt zwischen Antenne und Erde. Das Ausgangssignal wird ebenfalls an diesen Anschlüssen abgenommen und der weiteren Verarbeitung (Mischung bei einem Überlagerungsempfänger, Demodulation) zugeführt.
• Die Endstufen von Sendeanlagen erzeugen häufig unerwünschte Oberwellen, die nicht über die Antenne abgestrahlt werden dürfen. Deshalb unterdrückt man diese durch einige Schwingkreise nach der Endstufe. Da an dieser Stelle auch eine Widerstandsanpassung an die Impedanz der Antenne erfolgen muss, wird der Schwingkreis oft durch einen Resonanztransformator ersetzt.
• Mit Reihenschwingkreisen kann z. B. eine störende Frequenz aus dem Rundfunksignal ausgefiltert (kurzgeschlossen) werden, indem man ihn vor dem eigentlichen Empfänger zwischen Antenne und Erde anschließt. Damit kann man bei einfachen Rundfunkempfängern beispielsweise einen sehr starken Ortssender ausfiltern, um die eigentlichen Frequenzselektionsstufen dann auf die gewünschte Frequenz eines weiter entfernteren und dadurch schwächer einfallenden Senders abzustimmen, die sonst vom Ortssender überlagert würden. (In der Praxis wird dazu aber eher ein Parallelkreis verwendet, der als Sperrkreis in die Antennenzuleitung eingefügt wird.)

Parallel- und Serienschwingkreise können je nach Beschaltung auch die jeweils andere Aufgabe übernehmen. So kann ein lose gekoppelter Parallelschwingkreis Energie ausschließlich bei seiner Eigenfrequenz aufnehmen (Saugkreis); ein Reihenschwingkreis in Reihe in einer Signalleitung lässt nur Frequenzen seiner Eigenresonanz passieren. Dagegen lässt ein in eine Signalleitung in Reihe geschalteter Parallelschwingkreis genau seine Eigenfrequenz nicht passieren – vorausgesetzt, er wird durch diese nicht maßgeblich bedämpft: solche Sperrkreise sind Parallelschwingkreise, die in Serie zum Beispiel in die Antennenleitung eingefügt werden. Sie bilden dann beispielsweise für einen starken Ortssender einen maximalen Widerstand, sodass andere Sender besser von diesem getrennt werden können.

Kompensation von Blindstrom

Verbraucher im elektrischen Energieversorgungsnetz beziehen elektrische Energie und geben sie z. B. als thermische, mechanische, chemische Energie weiter. Vielfach speichern sie auch Energie, z. B. in Motoren als magnetische Feldenergie. Das Feld wird im Rhythmus der Netzwechselspannung auf- und wieder abgebaut, und die Energie wird bezogen und zurückgeliefert. Diese Energiependelung erzeugt Blindstrom, der Quelle und Netz belastet und vermieden werden soll. Dazu wird ein Schwingkreis aufgebaut: Einer Induktivität wird eine Kapazität parallelgeschaltet – oder umgekehrt. Das Zusatzbauteil wird so dimensioniert, dass die Resonanzfrequenz gleich der Netzfrequenz wird und dadurch ein möglichst hoher Scheinwiderstand entsteht. Diese Schaltungsmaßnahme wird Blindstromkompensation genannt.

Schwingkreise als Ersatzschaltbilder

Neben Schwingkreisen gibt es viele weitere elektronische Konstruktionen, die in Anwendungen an Stelle von Schwingkreisen eingesetzt werden (besonders bei sehr hohen Frequenzen). Siehe hierzu Lecherleitung, Topfkreis, Hohlraumresonator, aber auch Antennendipol. Die physikalische Funktion dieser Konstruktionen basiert meist auf der Nutzung von Stehwellen und unterscheidet sich damit grundsätzlich von der physikalischen Funktion eines Schwingkreises. Für derartige Konstruktionen werden häufig Ersatzschaltbilder in Form elektrischer Schwingkreise angegeben, die eine vereinfachte, angenäherte Berechnung ihres Verhaltens erlauben.

Ersatzschaltbilder mit ihren idealen elektronischen Bauelementen bilden lediglich das Verhalten der "ersetzten" Konstruktion nach, nicht jedoch ihre physikalische Wirkungsweise. Deshalb lassen sich die Werte der Bauelemente in diesen Ersatzschaltbildern in der Regel nicht aus dem physikalischen Aufbau (wie den geometrischen Abmessungen) der ersetzten Konstruktion ableiten, sondern nur aus ihrem Verhalten (wie der Resonanzfrequenz).

Siehe auch

• Mittenfrequenz
• Topfkreis
• Dipmeter

Literatur

• Martin Gerhard Wegener: Moderne Rundfunk-Empfangstechnik. Franzis-Verlag, München 1985, ISBN 3-7723-7911-7. 

Weblinks

• Messungen und Berechnungen an einem Reihenschwingkreis
• Berechnung: 'geometrisches Mittel' zweier Werte und Vergleich dazu: 'arithmetisches Mittel'
• Java-Applet zur Demonstration eines Schwingkreises