Gütefaktor

Der Gütefaktor, auch Güte, Kreisgüte, Resonanzschärfe, Schwingkreisgüte, Polgüte oder der Q-Faktor genannt, ist ein Maß für die Dämpfung eines schwingfähigen Systems (z. B. einen Schwingkreis). Er beschreibt in welchem Maß Energie in einem schwingfähigen System gespeichert werden kann, in Verhältnis zur umgesetzten Verlustenergie. Q wird vorwiegend in der Elektrotechnik verwendet. Der Kehrwert des Gütefaktors wird als Verlustfaktor d bezeichnet. Der Gütefaktor beschreibt nicht die Flankensteilheit eines Filters, denn dazu gehört unbedingt der maximale Pegel der Anhebung bzw. Absenkung mit der Bandbreite. Bei starker Anhebung des Pegels erscheint eine größere Flankensteilheit links und rechts neben der Resonanzfrequenz, bei geringer Pegelanhebung kann es auch nur eine geringe Flankensteilheit des Filters geben.

Der Abstand f₁ bis f₂ heißt Bandbreite

Der Gütefaktor Q berechnet sich wie folgt:

$Q = \frac{1}{d} = \frac{f_0}{B} \,$,

also Resonanzfrequenz f₀ (auch Mittenfrequenz) bezogen auf die Bandbreite B, wobei sich die Bandbreite ergibt zu:

$B = {f_2} - {f_1} \,$.

Hierbei sind f₂ die obere und f₁ die untere Grenzfrequenz.

Der Kehrwert des Gütefaktors Q wird mit Verlustfaktor d (Dämpfung) bezeichnet:

$d = \frac{1}{Q} \,$.

Bei Darstellung des Pegels in Abhängigkeit von der Frequenz ist die Bandbreite definiert als der Frequenzbereich, an dessen Grenzen sich der Spannungspegel um den Faktor $1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ als linearer Faktor gegenüber dem Extremwert geändert hat; im logarithmischen Maß entspricht dieses ungefähr 3 dB.

Der Gütefaktor Q = f₀ / B wird häufig fälschlicherweise mit der Bandbreite B = f₂ −  f₁ gleichgesetzt. Ein großer Gütefaktor entspricht jedoch einer kleinen Bandbreite B und umgekehrt, wie aus obigen Gleichungen zu ersehen ist.

Güte in der Elektrotechnik

Die Güte eines elektrotechnischen Systems kann aus dem Quotient zwischen pendelnder Blindleistung P_Blind und Wirkleistung P_Wirk berechnet werden:

$Q = \left | \frac{P_{\mathrm{Blind}}}{P_{\mathrm{Wirk}}} \right |$

Für eine Reihenschaltung eines Widerstandes R mit einer Spule mit der Induktivität L und einem Kondensator C gilt beispielsweise für Wirk- und pendelnder Blindleistung:

$P_{\mathrm{Wirk}} = R\cdot {\underline I}^2$

$\left | P_{\mathrm{Blind}} \right | = (\omega L) \cdot {\underline I}^2 = \frac{{\underline I}^2}{\omega C}$

mit dem komplexen Strom I und der Kreisfrequenz ω. Somit ergibt sich für dieses System nach obiger Beziehung eine Güte Q von:

$Q = \frac{\omega L}{R} = \frac{1}{R \cdot \omega C} = \frac{1}{R} \cdot \sqrt{\frac{L}{C}}$

Widerstand, Kondensator und Spule parallel geschaltet

In Analogie dazu ergibt sich für eine Parallelschaltung von Spule, Kondensator und Widerstand mit der komplexen Spannung U:

$P_{\mathrm{Wirk}} = \frac{{\underline U}^2}{R}$ und

$\left | P_{\mathrm{Blind}} \right | = \frac{{\underline U}^2}{\omega L} = \omega C \cdot {\underline U}^2$

die Beziehung:

$Q = \frac{R}{\omega L} = R \cdot \omega C = R \cdot \sqrt{\frac{C}{L}}$

Für ein komplexes Zweitor mit der Impedanz Z gilt für dessen Güte:

$Q = \frac{\left | \mathrm{Im}\left ( \underline Z \right ) \right |}{\mathrm{Re}\left ( \underline Z \right )}$.

Für diese Berechnungen sind Kenntnisse der komplexen Wechselstromrechnung notwendig.

Energie und schwingende Systeme

$Q = 2 \pi \ \frac{\mathrm{Gesamtenergie \ der \ Schwingung \ zur \ Zeit} \ t}{\mathrm{Energieverlust \ pro \ Periode \ zur \ Zeit} \ t} = 2 \pi \ \frac{E(t)}{\left|\left(\frac{dE}{dt}\right)_t \cdot T \right|} \,$

Dieses impliziert, dass man bei schwach gedämpft schwingenden Systemen von Systemen hoher Güte spricht.

Sonderfall: Ein Gütefaktor von 0,5 entspricht in der Physik dem aperiodischen Grenzfall.

Beispiele

In der folgenden Tabelle sind einige Größenordnungen von Gütefaktoren von und bei verschiedenen schwingenden Systemen angegeben. Bei Gütefaktoren unterhalb von 0,5 (Dämpfung größer als 2) gibt es keine Schwingung.

System	Gütefaktor
Aperiodischer Grenzfall	0,5
Elektrodynamischer Lautsprecher	typ. 0,2...1,2
Elektrischer Schwingkreis	102
Pendeluhr	104
Schwingquarz 10 MHz	3...10 * 105
Kompensatorpendel	106
Frequenzstabilisierter Laser	109
Cäsium-Atomuhr	1013
Mößbauer-Effekt bei Gammastrahlung	1015

Siehe auch

• Filter in der Elektronik
• Verstimmung (Elektrotechnik)
• Schwingkreis
• Spulengüte
• Resonator

Weblinks

• Umrechnung: 'Bandbreite in Oktaven' N in Gütefaktor Q und Gütefaktor Q in 'Bandbreite in Oktaven' N
• Q-Faktor und Mittenfrequenz - Finde die Grenzfrequenzen (Bandbreite)
• Gütefaktor Q in 'Bandbreite in Oktaven' N - und zurück - Excel
• Der Gütefaktor (Q-Faktor) hat keine Beziehung zur Flankensteilheit eines Filters (PDF-Datei; 108 kB)