Resonanzwiderstand

Der Resonanzwiderstand ist eine Resonanzerscheinung in einem schwingungsfähigen System. Er bezeichnet den Scheinwiderstand eines Schwingkreises bei Resonanz. Der Schwingkreis muss hierbei mindestens aus zwei Energiespeichern verschiedener Energieformen bestehen. Man unterscheidet zwischen Reihen- und Parallelschwingkreisen. Bei einem idealen Reihenschwingkreis ist der Resonanzwiderstand null, bei einem idealen Parallelschwingkreis ist der Resonanzwiderstand unendlich groß. Ideal bedeutet in dem Zusammenhang, dass keine Bauteile des Schwingkreises Wirkleistung umsetzen, sprich keine ohmschen Anteile besitzen. Dieser Effekt wird unter anderem angewendet, um aus einem Gemisch von Signalen unterschiedlicher Frequenz eine bestimmte Frequenz herauszufiltern

Eine nähere Erörterung des Resonanzwiderstandes ergibt nur Sinn, wenn man betrachtet wie sich die ohmschen Anteile, also die Verluste der Spule und des Kondensators, die Leitungsverluste oder ein rein ohmscher Widerstand, auf den Scheinwiderstand des Schwingkreises bei Resonanz auswirken. Um diese Sache zu verstehen, ist es wichtig, sich vorher mit den Themen komplexe Wechselstromrechnung, Blindwiderstand sowie Schwingkreis auseinanderzusetzen.

Erläuterung

Induktive und kapazitive Blindwiderstände haben entgegengesetzte Vorzeichen. Bei Resonanz sind diese gleich groß und heben sich somit auf. Diese Blindwiderstände ändern sich gegenläufig, wenn die Frequenz geändert wird. Deshalb wird Resonanz bei einer gewissen Frequenz, der sogenannten Resonanzfrequenz erreicht. Dies bedeutet, dass der Blindwiderstand des Schwingkreises (nicht der Bauelemente) extrem, also besonders groß oder besonders klein wird.

Bei Reihenschwingkreisen ist die Betrachtung des Resonanzwiderstandes vergleichsweise einfach, da die Impedanzen (Wechselstromwiderstände) der Bauteile addiert werden und Null ergeben.

Bei einem Parallelschwingkreis ist dies nicht ganz so einfach, da sich hier der Strom aufteilt und zwar umgekehrt proportional zu den Werten der Impedanzen. Es überwiegt unterhalb der Resonanzfrequenz der Strom durch die Spule und oberhalb der Strom durch den Kondensator. Im Resonanzfall sind beide Ströme gleichgroß, jedoch mit entgegengesetztem Vorzeichen. Dann heben sie sich auf und der Gesamtstrom ist Null.

In der Praxis ist diese Kompensation nicht ganz exakt, weil die Bauelemente auch ohmsche Widerstände besitzen. Im Resonanzfall wird der Parallelschwingkreis sehr hochohmig, der Reihenschwingkreis sehr niederohmig.

Grundlagen

Allgemein

Ersatzschaltbild für komplexe Widerstände/Leitwerte: 1. Impedanz Z → 2. Admittanz Y

Wie bereits oben erwähnt, entsteht beim Durchfluss von Wechselstrom durch einen Leiter, eine Spule oder einen Kondensator neben dem ohmschen Widerstand R auch ein Blindwiderstand X, dessen Größe abhängig von der Frequenz und dem Verlauf des Wechselstromes ist. Um dies berechnen zu können, bedient man sich der komplexen Wechselstromrechnung, bei der man für den Widerstand R äquivalent die Impedanz Z und für den Leitwert G die Admittanz Y benutzt. Die Impedanz bzw. Admittanz beinhaltet sowohl den realen/ohmschen Anteil als auch den Blindanteil des Widerstandes oder Leitwertes. Die Impedanz und Admittanz sind, wie auch bei realem Leitwert und Widerstand, jederzeit ineinander umwandelbar. Unter Annahme idealer Bauelemente ist bei der Spule und beim Kondensator der reale Anteil (R bzw. G) null und beim Leiter/Widerstand der Blindanteil (X bzw. B) null. Dies wird der Einfachheit halber auch bei den meisten Berechnungen angenommen. Beim Resonanzwiderstand ist dies allerdings nicht möglich, da gerade diese Anteile den Resonanzwiderstand bestimmen.

Der Resonanzwiderstand ist also abhängig von den ohmschen Anteilen und vom Verlauf des Stromes. Der Verlauf beeinflusst ganz speziell die Resonanzfrequenz und den Blindwiderstand oder Blindleitwert und ist damit ein elementarer Bestandteil jeder Berechnung. Da der sinusförmige Verlauf in der Elektrotechnik die größte Bedeutung hat, wird in der Folge dieser Verlauf auch etwas genauer betrachtet.

Um Verwirrungen zu vermeiden, sollte vorher klar sein, dass wir zur Berechnung des Resonanzwiderstandes immer die Impedanz des gesamten Schwingkreises betrachten. Dies hat zur Folge, dass gerade bei parallelen Impedanzen der Realteil R (Wirkwiderstand) des gesamten Schwingkreises auch frequenzabhängig sein kann. Dies kann bei der Betrachtung von Impedanzen einzelner Bauelemente niemals passieren, da dort der Realteil immer und ausschließlich aus ohmschen Anteilen besteht.

Mathematisch

Im Allgemeinen entspricht der Resonanzwiderstand dem Scheinwiderstand bei Resonanz. Der Scheinwiderstand entspricht dem Betrag der Impedanz. Da im Fall der Resonanz der Blindwiderstand X Null wird, ist der Resonanzwiderstand Z_r der Realteil der Impedanz.

Impedanz:

$\underline Z = R + jX$

$\underline Z = \operatorname {Re} \{\underline Z\} + j\operatorname {Im} \{\underline Z\}$

Scheinwiderstand:

$Z = |\underline Z|= \sqrt{R^2 + X^2}$

Resonanzwiderstand: (Ist der Scheinwiderstand bei Resonanz)

Resonanzbedingung:

$\operatorname {Im} \{\underline Z\} = X = 0$ also (Blindwiderstand des Schwingkreises ist Null)

Daraus folgt

$Z_r = |R + j0| = \sqrt{R^2 + 0^2}$,

also

$Z_r = R = \operatorname {Re} \{\underline Z\}$.

Es ist zu sehen, dass der Scheinwiderstand des Schwingkreises bei Resonanz, also der Resonanzwiderstand, nur durch den Wirkwiderstand repräsentiert wird. Man wird in der späteren Berechnung allerdings sehen, dass der Wirkwiderstand des Parallelschwingkreises, anders als der bei Bauelementen, frequenzabhängig ist und somit die Resonanzfrequenz eine entscheidende Rolle bei der Berechnung spielt.

Im Folgenden bedeutet:

X = Blindwiderstand

R = Wirkwiderstand

j = imaginäre Einheit

Z_C = Impedanz des Kondensators

Z_L = Impedanz der Spule

X_C = kapazitiver Blindwiderstand

X_L = induktiver Blindwiderstand

R_Ohm = ohmscher Widerstand

R_C = kapazitiver Verlustwiderstand

R_L = induktiver Verlustwiderstand

Der Verlustwiderstand beinhaltet auch die Übergangswiderstände und Leitungsverluste. Ein in Reihe geschalteter ohmscher Vorwiderstand wirkt additiv auf den Verlustwiderstand, also $R_{L_{\rm{ges}}} = R_{\rm{Verlust}} + R_{\rm{Ohm}}$

Reihenschwingkreis

Resonanzwiderstand eines Reihenschwingkreises

Der Reihenschwingkreis besteht aus einer Spule und einem Kondensator, die in Reihe geschaltet sind. Der Resonanzwiderstand wäre bei idealen Bauelementen null, die Verlustwiderstände bzw. ein ohmscher Widerstand heben den Resonanzwiderstand jedoch an.

Allgemeingültige Formeln

Impedanz

Die Impedanz des Reihenschwingkreises ergibt sich folgendermaßen:

Herleitung:

$\underline Z = \underline {Z_C} + \underline {Z_L} = R_C + jX_C + R_L + jX_L$

Formel:

$\underline Z = (R_C + R_L) + j(X_L + X_C)$

Resonanzfrequenz

Bei der Resonanzfrequenz des Reihenschwingkreises muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$\operatorname {Im} \{\underline Z\} = 0$

Es ergibt sich:

$\, X_L + X_C = 0$

Resonanzwiderstand

Für den Resonanzwiderstand gilt dann:

$Z_r = \operatorname {Re}\{\underline Z\} = R_C + R_L$

Für sinusförmige Verläufe

Resonanzfrequenz

Durch Einsetzen der Formeln für den Blindwiderstand kommt man zu:

$\omega_r L - \frac{1}{\omega_r C} = 0$

$\omega_r = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ (Thomsonsche Schwingungsgleichung)

Resonanzwiderstand

Es gilt die allgemeine Formel:

$Z_r = \operatorname {Re}\{\underline Z\} = R_C + R_L$

Anmerkung

Es ist zu sehen, dass der Resonanzwiderstand den geringsten Widerstand eines Reihenschwingkreises darstellt. Der Resonanzwiderstand eines Reihenschwingkreises ergibt sich unabhängig vom Verlauf der Wechselspannung. Für Spulen und Kondensatoren mit hoher Güte ist der Einsatz eines ohmschen Vorwiderstandes unablässig, da die Verlustwiderstände dann im Verhältnis zum Innenwiderstand der Spannungsquelle so gering sind, dass sie im Resonanzfall praktisch einen Kurzschluss darstellen.

Parallelschwingkreis

Resonanzwiderstand eines Parallelschwingkreises

Der Parallelschwingkreis besteht in der Regel aus einer Spule und einem Kondensator die parallel geschaltet sind. Bei idealen Bauelementen wäre der Resonanzwiderstand unendlich hoch, die Verlustwiderstände senken den Wert des Resonanzwiderstandes allerdings deutlich.

Allgemeingültige Formeln

Impedanz

Die Impedanz des Parallelschwingkreises ergibt sich folgendermaßen:

$\frac{1}{\underline Z} = \frac{1}{\underline{Z_C}} + \frac{1}{\underline{Z_L}}$

$\underline Z = \frac{\underline{Z_C}\cdot \underline{Z_L}}{\underline{Z_C} + \underline{Z_L}} = \frac{(R_C + jX_C) \cdot (R_L + jX_L)}{(R_C + jX_C) + (R_L + jX_L)} = \frac{(R_C R_L - X_C X_L) + j(R_C X_L + R_L X_C)}{(R_C + R_L)+j(X_L + X_C)}$

$\underline Z = \frac{(R_C^2 R_L + R_C R_L^2 + R_C X_L^2 + R_L X_C^2) + j(R_C^2 X_L + R_L^2 X_C + X_C X_L(X_L + X_C)) }{(R_C + R_L)^2 + (X_L + X_C)^2}$

Da R_C im Verhältnis zu R_L oftmals sehr klein ist wird er zur Vereinfachung in der Regel vernachlässigt, so dass sich eine vereinfachte Formel für die Impedanz ergibt:

$\underline Z = \frac{(R_L X_C^2) + j(R_L^2 X_C + X_C X_L(X_L + X_C))}{R_L^2 + (X_L + X_C)^2}$

Resonanzfrequenz

Bei der Resonanzfrequenz des Parallelschwingkreises muss wiederum folgende Bedingung erfüllt sein:

$\operatorname {Im}\{\underline Z\} = \frac{R_C^2 X_L + R_L^2 X_C + X_C X_L(X_L + X_C)}{(R_C + R_L)^2 + (X_L + X_C)^2} = 0$

Dies ist der Fall, wenn der Zähler gleich Null und der Nenner von Null verschieden ist: daraus folgt:

$R_C^2 X_L + R_L^2 X_C + X_C X_L(X_L + X_C) = 0$ und $(R_C + R_L)^2 + (X_L + X_C)^2 \not = 0$

Resonanzwiderstand

Für den Resonanzwiderstand gilt dann:

$\operatorname {Re}\{\underline Z\} = Z_r = \frac{R_C^2 R_L + R_C R_L^2 + R_C X_L^2 + R_L X_C^2}{(R_C + R_L)^2 + (X_L + X_C)^2}$

Für sinusförmige Verläufe

Resonanzfrequenz

(Formeln siehe Blindwiderstand)

$R_C^2 \cdot (\omega_r L) + R_L^2 \cdot \left(-\frac{1}{\omega_r C}\right) - \frac{L}{C}(\omega_r L - \frac{1}{\omega_r C}) = \omega_r L \cdot \left(R_C^2 - \frac{L}{C} \right) - \frac{1}{\omega_r C}\cdot \left(R_L^2 - \frac{L}{C} \right) = 0$

Die Formel für die Resonanzkreisfrequenz eines Parallelschwingkreises ist somit:

$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \sqrt{\frac{\left(R_L^2 - \frac{L}{C} \right)}{\left(R_C^2 - \frac{L}{C} \right)}}$

Wenn $\, R_C = R_L$ ist, gilt die Thomsonsche Schwingungsgleichung.

Wenn $R_C \not= R_L$ ist, beeinflussen die Verluste der Bauelemente die Resonanzfrequenz geringfügig, die Resonanzfrequenz wird gedämpft.

Wenn $\, R_C =0$ und $R_L \not=0$ angenommen wird vereinfacht sich die Gleichung zu:

$\omega_r = \sqrt{\frac{1}{LC}- \left( \frac{R_L}{L}\right)^2}$

Im Fall das $\, R_C = 0$ und $\, R_L = 0$ ist, also bei der Annahme nur idealer Bauelemente, gilt diese Gleichung nicht, da in dem Fall auch der Nenner des Bruchs null würde, die Resonanzfrequenz wird in diesem Fall nicht erreicht der Schwingkreis sperrt vorher vollständig.

Resonanzwiderstand

$Z_r = \frac{R_C^2 R_L + R_C R_L^2 + R_C \cdot \omega_r^2 L^2 + R_L \cdot \frac{1}{\omega_r^2 C^2}}{(R_C + R_L)^2 + \left(\omega_r L - \frac{1}{\omega_r C} \right)^2}$

Als Vereinfachung kann man nun annehmen, dass $\omega_r \approx \omega_0$ (Thomsonsche Schwingungsgleichung) und somit:

$\, X_L + X_C = 0$ und $X_L^2 = X_C^2 = \frac{L}{C}$

Damit folgt die Formel:

$Z_r = \frac{R_C^2 R_L + R_C R_L^2 + \frac{L}{C} (R_C + R_L)}{(R_C + R_L)^2}$

Da R_C in der Regel viel kleiner als R_L ist, kann man zur weiteren Vereinfachung R_C = 0 setzten, so dass nur noch folgendes übrig bleibt:

$Z_r = \frac{\frac{L}{C} (R_L)}{(R_L)^2} = \frac{L}{R_L \cdot C}$

An dieser Formel ist sehr schön zu erkennen, dass der Verlustwiderstand der Spule den Resonanzwiderstand reduziert. Wäre R_L null, wäre der Resonanzwiderstand unendlich groß.

Anmerkung zu R_L

Der in Reihe zur Spule geschaltete niederohmige R_L kann auch als hochohmiger parallel geschalteter Widerstand R_p beschrieben werden dabei gilt.

$R_p = \frac{1}{G_L} = \frac{R_L^2 + X_L^2}{R_L}$   

Für sinusförmige Wechselspannungen gilt dann:

$R_p = \frac{R_L^2 + \omega^2 L^2}{R_L}$   

Im Resonanzfall ($\, R_C =0$) ist:

$\omega = \omega_r = \sqrt{\frac{1}{LC}- \left( \frac{R_L}{L}\right)^2}$

was etwas weiter oben hergeleitet wurde. Da der eigentliche Resonanzkreis aus C und L_p bei Resonanz einen unendlichen Widerstand hat, ist die Impedanz Z_r allein R_p. Nach dem Einsetzen ergibt sich der Widerstand im Resonanzfall zu:

$R_p = \frac{R_L^2 + \left[\frac{1}{LC}- \left( \frac{R_L}{L}\right)^2\right] L^2}{R_L}$   

$Z_r = R_p = \frac{L}{R_L \cdot C}$

Der oben hergeleitete Ausdruck mit der Voraussetzung $\omega_r \approx \omega_0$ gilt daher bei R_C = 0 auch ohne diese Einschränkung.

Anmerkung zu R_C

Bei Kondensatoren wird der Verlust häufig als Verlustleitwert G_C anstelle des Verlustwiderstandes R_C angegeben. In diesem Falle nimmt man zur Darstellung nicht die Impedanz, sondern die Admittanz, sprich den Verlustleitwert parallel zum Blindleitwert.

Herleitung

$\underline{Y_C} = \frac{1}{\underline{Z_C}} = \frac{1}{R_C + jX_C}$

Durch Umformung kommt man zu:

$G_C + jB_C = \frac{R_C}{R_C^2 + X_C^2} - j\frac{X_C}{R_C^2 + X_C^2}$

Formel

$G_C = \frac{R_C}{R_C^2 + X_C^2}$ bzw. $R_C = \frac{G_C}{G_C^2 + B_C^2}$

Siehe auch

• Reihenresonanz
• Parallelresonanz
• Schwingkreis