Relativistischer Impuls

Relativistischer Impuls

Bei Stößen und anderen Wechselwirkungen von Teilchen erweist sich der Impuls als additive Erhaltungsgröße: die Summe der anfänglichen Impulse stimmt mit der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung überein.

In der speziellen Relativitätstheorie hängt der Impuls \mathbf p eines Teilchens der Masse m nichtlinear von der Geschwindigkeit \mathbf v ab,

\mathbf p = \gamma m \mathbf v = \frac{m \, \mathbf v}{\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}}}\,.

dabei ist γ der Lorentzfaktor. Für nicht relativistische Geschwindigkeiten(v<<c) ist γ gleich 1 und verschwindet somit. So erhält man für kleine Geschwindigkeiten annähernd den klassischen Impuls wie in der Newtonsche Mechanik

\mathbf p_{\text{Newton}} = m \, \mathbf v\,.

Nach dem Noether-Theorem gehört zur Impulserhaltung die Symmetrie der Wirkung unter räumlichen Verschiebungen.

Wird durch eine Kraft \mathbf F Impuls im Laufe der Zeit auf ein Teilchen übertragen, so ändert sich dadurch sein Impuls. Kraft ist Impulsübertrag pro Zeit,

\mathbf F =\frac{\mathrm d \mathbf p}{\mathrm d t}\,.

Herleitung

Wie der Impuls und die Energie eines Teilchens der Masse m in relativistischer Physik von der Geschwindigkeit \mathbf v abhängen, folgt daraus, dass diese Größen für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.

Es ergibt sich auch aus der Wirkung

 S[\mathbf X] = \int \, {\mathcal L}\bigl(t,\mathbf x(t),\frac{\mathrm d\mathbf x}{\mathrm d t}(t)\bigr) \, \mathrm d t

mit der Lagrangefunktion

{\mathcal L}(t,\mathbf x,\mathbf v)=-m \, c^2\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}}\,.

Da die Lagrangefunktion nicht vom Ort \mathbf x abhängt, (das heißt, die Komponenten x^i\,,i=1,2,3\,, sind zyklisch), ist die Wirkung invariant unter räumlichen Verschiebungen. Die nach Noether-Theorem zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß der Impuls. Im vorliegenden Fall ist dies der zu \mathbf x konjugierte Impuls mit Komponenten

p_i=\frac{\partial {\mathcal L}}{\partial v^i}=\frac{m \,v^i}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}}\,,\qquad also
\mathbf p=\frac{m \,\mathbf v}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}}\,.

Da die Lagrangefunktion nicht von der Zeit t abhängt, ist nach Noether-Theorem die Energie

E= v^i \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial v^i}-{\mathcal L}=
\frac{m\,c^2}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}}

erhalten. Fassen wir hier die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses auf,

\mathbf{v}=\frac{\mathbf p}{\sqrt{m^2+\mathbf p^2/c^2}}\,,

wie sie sich umgekehrt aus \mathbf p(\mathbf v) ergibt, so erhalten wir die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, die Hamilton-Funktion

H(t, \mathbf {x},\mathbf {p})=\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}.

Die Energie und der Impuls erfüllen also die Energie-Impuls-Beziehung und liegen auf der Massenschale.


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