- Relativistischer Impuls
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Bei Stößen und anderen Wechselwirkungen von Teilchen erweist sich der Impuls als additive Erhaltungsgröße: die Summe der anfänglichen Impulse stimmt mit der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung überein.
In der speziellen Relativitätstheorie hängt der Impuls
eines Teilchens der Masse m nichtlinear von der Geschwindigkeit
ab,
dabei ist γ der Lorentzfaktor. Für nicht relativistische Geschwindigkeiten(v<<c) ist γ gleich 1 und verschwindet somit. So erhält man für kleine Geschwindigkeiten annähernd den klassischen Impuls wie in der Newtonsche Mechanik
Nach dem Noether-Theorem gehört zur Impulserhaltung die Symmetrie der Wirkung unter räumlichen Verschiebungen.
Wird durch eine Kraft
Impuls im Laufe der Zeit auf ein Teilchen übertragen, so ändert sich dadurch sein Impuls. Kraft ist Impulsübertrag pro Zeit,
Herleitung
Wie der Impuls und die Energie eines Teilchens der Masse m in relativistischer Physik von der Geschwindigkeit
abhängen, folgt daraus, dass diese Größen für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.
Es ergibt sich auch aus der Wirkung
mit der Lagrangefunktion
Da die Lagrangefunktion nicht vom Ort
abhängt, (das heißt, die Komponenten
sind zyklisch), ist die Wirkung invariant unter räumlichen Verschiebungen. Die nach Noether-Theorem zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß der Impuls. Im vorliegenden Fall ist dies der zu
konjugierte Impuls mit Komponenten
also
Da die Lagrangefunktion nicht von der Zeit t abhängt, ist nach Noether-Theorem die Energie
erhalten. Fassen wir hier die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses auf,
wie sie sich umgekehrt aus
ergibt, so erhalten wir die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, die Hamilton-Funktion
.
Die Energie und der Impuls erfüllen also die Energie-Impuls-Beziehung und liegen auf der Massenschale.
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