Restklassenkörper

Restklassenkörper spielen in verschiedenen Bereichen der Algebra und Zahlentheorie eine wichtige Rolle. In ihrer einfachsten Form sind sie die mathematische Abstraktion des Restes bei der Division durch eine Primzahl; in einer komplizierteren Fassung geben sie die lokale Struktur eines geometrischen Objektes in einem Punkt an.

Restklassenkörper modulo einer Primzahl

Ist p eine Primzahl, so ist der Restklassenring $\mathbb Z/p\mathbb Z$ ein Körper, genauer ein endlicher Körper mit p Elementen. Er wird Restklassenkörper modulo p genannt und üblicherweise mit $\mathbb F_p$ bezeichnet; man beachte jedoch, dass es auch endliche Körper $\mathbb F_{p^2}$,$\mathbb F_{p^3},\ldots$ gibt, die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben.

Für weitere Details zu endlichen Körpern siehe endlicher Körper.

Restklassenkörper lokaler Ringe

Ist A ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mathfrak m$, so heißt der Faktorring $A/\mathfrak m$ (der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Körper ist) der Restklassenkörper von A.

Ist K ein diskret bewerteter Körper mit Bewertungsring $\mathcal O$ und uniformisierendem Element π, dann bezeichnet man $\mathcal O/\pi$ als Restklassenkörper von K.

Restklassenkörper von Punkten auf Schemata

Ist X ein Schema und $x\in X$ ein Punkt, so heißt der Restklassenkörper des lokalen Ringes $\mathcal O_{X,x}$ der Restklassenkörper von X in x und wird häufig mit κ(x) bezeichnet.

Ist X ein Schema über einem Körper k, so sind alle Restklassenkörper von X Körpererweiterungen von k. Ist X / k lokal endlichen Typs und $x\in X$ ein abgeschlossener Punkt, so ist κ(x) eine endliche Erweiterung von k; dies ist im Wesentlichen die Aussage des hilbertschen Nullstellensatzes.