- Restklassenkörper
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Restklassenkörper spielen in verschiedenen Bereichen der Algebra und Zahlentheorie eine wichtige Rolle. In ihrer einfachsten Form sind sie die mathematische Abstraktion des Restes bei der Division durch eine Primzahl; in einer komplizierteren Fassung geben sie die lokale Struktur eines geometrischen Objektes in einem Punkt an.
Restklassenkörper modulo einer Primzahl
Ist p eine Primzahl, so ist der Restklassenring
ein Körper, genauer ein endlicher Körper mit p Elementen. Er wird Restklassenkörper modulo p genannt und üblicherweise mit
bezeichnet; man beachte jedoch, dass es auch endliche Körper
,
gibt, die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben.
Für weitere Details zu endlichen Körpern siehe endlicher Körper.
Restklassenkörper lokaler Ringe
Ist A ein lokaler Ring mit maximalem Ideal
, so heißt der Faktorring
(der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Körper ist) der Restklassenkörper von A.
Ist K ein diskret bewerteter Körper mit Bewertungsring
und uniformisierendem Element π, dann bezeichnet man
als Restklassenkörper von K.
Restklassenkörper von Punkten auf Schemata
Ist X ein Schema und
ein Punkt, so heißt der Restklassenkörper des lokalen Ringes
der Restklassenkörper von X in x und wird häufig mit κ(x) bezeichnet.
Ist X ein Schema über einem Körper k, so sind alle Restklassenkörper von X Körpererweiterungen von k. Ist X / k lokal endlichen Typs und
ein abgeschlossener Punkt, so ist κ(x) eine endliche Erweiterung von k; dies ist im Wesentlichen die Aussage des hilbertschen Nullstellensatzes.
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