Riccati-Differentialgleichung

Die riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

$\ y'(x) = f(x)y^2(x)+ g(x)y(x) + h(x)$.

Sie ist nach dem Mathematiker Jacopo Francesco Riccati benannt, einem italienischen Grafen (1676–1754), der sich intensiv mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Reduzierung der Ordnung von Gleichungen entwickelte.

Eine allgemeine Integration der Riccati-Differentialgleichung ist mit den üblichen Methoden nicht möglich.

Denselben Namen riccatische Differentialgleichung tragen noch zwei andere Gleichungstypen, die für verschiedene Themen von angewandter Mathematik bis zur Finanzwissenschaft von Bedeutung sind.

Transformation im Falle einer bekannten Lösung

Angenommen, man hätte bereits eine Lösung u (etwa durch Raten) gefunden. Dann lässt sich die riccatische Differentialgleichung vollständig lösen, da das Auffinden der übrigen Lösungen sich nun auf eine bernoullische Differentialgleichung reduziert, welche leicht gelöst werden kann.

Formulierung des Transformationssatzes

Es seien $x_0 \in (a, b)$ sowie $u: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ eine Lösung der riccatischen Differentialgleichung

$\ u'(x) = f(x)u^2(x) + g(x)u(x) + h(x)$

und z eine Lösung der bernoullischen Differentialgleichung

$z'(x)=f(x)z(x)^2 + (2u(x)f(x) + g(x))z(x)\ .$

Dann ist

$\ y(x) := z(x) + u(x)$

die Lösung der riccatischen Differentialgleichung

$y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)\ ,\ y(x_0) = y_0 := z(x_0) + u(x_0)\ .$

Beweis

Es gilt

$\begin{array}{lll} y'(x)&=&z'(x) + u'(x)\\ &=&f(x)z(x)^2 + (2u(x)f(x) + g(x))z(x) + f(x)u^2(x) + g(x)u(x) + h(x)\\ &=&f(x)[z(x)^2 + 2u(x)z(x) + u^2(x)] + g(x)[z(x)+u(x)] + h(x)\\ &=&f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)\ ,\\ \end{array}$

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

$\Box$

Umformung auf lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Im Allgemeinen, unabhängig davon, ob man eine spezielle Lösung gefunden hat, lässt sich die riccatische Differentialgleichung auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten transformieren. Sollten zufälligerweise die Koeffizienten konstant sein, lässt sich diese transformierte Gleichung mit Hilfe des Verfahrens der Variation der Konstanten leicht vollständig lösen. Im Fall nicht-konstanter Koeffizienten kann auch die lineare Form der riccatischen Differentialgleichung nur sehr schwer lösbar sein.

Formulierung des Transformationssatzes

Es seien $x_0 \in (a, b)$ sowie $f: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}$ stetig differenzierbar und z eine Lösung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

$z''(x) - \left[g(x) + \frac{f'(x)}{f(x)}\right] \cdot z'(x) + [f(x)h(x)] \cdot z(x) = 0$

mit $z(x) \neq 0$ für alle $x \in (a,b)$. Dann ist

$y(x) := - \frac{z'(x)}{f(x)z(x)}$

die Lösung der riccatischen Differentialgleichung

$y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)\ ,\ y(x_0) = y_0 := -\frac{z'(x_0)}{f(x_0)z(x_0)}\ .$

Beweis

Der Übersicht halber werden die Argumente nicht mitgeschrieben. Nach der Quotientenregel gilt

$\begin{array}{lll} y'&=&\frac{-fzz''+z'(f'z+fz')}{f^2z^2}\\ &=&\frac{-fz[(g+\frac{f'}{f})z' - fhz] + z'(f'z+fz')}{f^2z^2}\\ &=&f\frac{z'^2}{f^2z^2} - g\frac{z'}{fz} + h\\ &=&fy^2 + gy + h\ ,\\ \end{array}$

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

$\Box$