Tangentialbündel

Hier wird das Tangentialbündel des Kreises illustiert. Das erste Bild zeigt die Tangentialräume am Kreis und im zweiten Bild werden diese Räume zu einem Bündel zusammengefasst.

Tangentialbündel ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie und Differentialtopologie. Es handelt sich um die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume. Hat das Tangentialbündel eine besonders einfache Struktur, dann nennt man die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit parallelisierbar.

Definition

Das Tangentialbündel TM einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ist ein Vektorbündel. Als Menge ist es als die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume von M definiert:

$TM=\bigcup_{p\in M} \{p\}\times T_pM=:\bigsqcup_{p\in M}T_pM.$

Die Vektorraumstruktur in den Fasern $\{p\}\times T_pM$ ist die von den Tangentialräumen geerbte Struktur.

Ist M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und U eine offene, zusammenziehbare Umgebung von $p\in M$, dann ist TU diffeomorph zu $U\times \mathbb{R}^n,$ das heißt lokal ist das Tangentialbündel TM diffeomorph zu $\R^{2n}$.

Ein Tangentialbündel erhält durch die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit wieder eine differenzierbare Struktur. Man nennt einen Atlas des Tangentialbündels, in dem alle Karten die Form $U\times\R^{n}$ haben, eine lokale Trivialisierung. Die Topologie und differenzierbare Struktur bekommt das Tangentialbündel durch eine lokale Trivialisierung.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M mit trivialem Tangentialbündel (das heißt TM ist als Bündel isomorph zu $M\times\R^n$) nennt man parallelisierbar.

Beispiele

Parallelisierbare Mannigfaltigkeiten

• $M=\R^n$, das Tangentialbündel ist $TM = \R^n \times \R^n = \R^{2n}.$
• Sei $S^1 = \{x \in \mathbb{R}^2: \left\| x \right\| = 1\}$ die 1-Sphäre. Das Tangentialbündel ist der unendlich lange Zylinder, das heißt $TS^1 = S^1\times\R.$
• Jede endlich dimensionale Lie-Gruppe G, denn man kann eine Basis für den Tangentialraum T_eG am neutralen Element e wählen und dann durch die Gruppenwirkung über ganz G transportieren, um eine Trivialisierung von TG zu erhalten.
• Jede orientierbare geschlossene 3-Mannigfaltigkeit.

Nichttriviale Tangentialbündel

• TS² mit $S^2 = \{x \in \R^3: \left\| x \right\| = 1\}$, denn nach dem Satz vom Igel gibt es auf der 2-Sphäre kein nirgendwo verschwindendes, stetiges tangentiales Vektorfeld.

Natürliche Projektion

Die natürliche Projektion ist eine glatte Abbildung

$\pi\colon TM \to M\,$

definiert durch

$(p,v) \mapsto p.$

Dabei ist $p \in M$ und $v \in T_pM$. Es gilt also $\;\pi^{-1} (p) = T_pM$ für alle $p\in M$.

Kotangentialbündel

Analog zum Tangentialbündel ist auch das Kotangentialbündel definiert. Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und T_pM sein Tangentialraum am Punkt $p \in M$, so wird mit $T_p^*M$ der Dualraum des Tangentialraums, den man Kotangentialraum nennt, bezeichnet. Das Kotangentialbündel T ^* M von M ist nun als disjunkte Vereinigung der Kotangentialräume definiert. Das heißt, es gilt

$T^*M=\bigcup_{p\in M} \{p\}\times T_p^*M=:\bigsqcup_{p\in M}T_p^*M.$

Auch auf dem Kotangentialbündel lässt sich auf natürliche Weise wieder eine differenzierbare Struktur definieren.

Vektorfelder

→ Hauptartikel: Vektorfeld

Ein glattes Vektorfeld ist ein glatter Schnitt im Tangentialbündel, das heißt es handelt sich um eine glatte Abbildung $\sigma : M \to TM$, für die $\pi\circ\sigma = \mathop{\operatorname{id}}_M$ gilt. Glatte Schnitte im Kotangentialbündel werden oftmals auch als Kovektorfelder bezeichnet.

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, 2. Aufl. New York, 2003, ISBN 0-387-95448-1
• R. Abraham, Jerrold E. Marsden, & T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications., Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 0-201-10168-8